[논문 리뷰] Derivatives with respect to the order of the Bessel function of the first kind

J. Sesma|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 20.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Bessel 함수의 제1종 $ J_\nu(z) $ 의 순서 $ \nu $ 에 대한 k-번째 도함수에 대한 닫힌 형태 표현을 유도한다. 이는 역 감마 함수의 도함수, Pochhammer 기호 및 그 일반화된 형태를 Stirling 수와 일반화된 베르누이 다항식을 사용하여 표현함으로써, $ \nu $ 의 양수 및 음수 정수 순서에 대해 정확한 계산을 가능하게 한다. 주요 기여는 반복적으로 낮은 차수의 도함수를 평가하지 않고도 고차수 도함수를 직접 계산할 수 있는 체계적인 방법을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

An explicit expression of the k-th derivative of the Bessel function $J_ν(z)$, with respect to its order $ν$, is given. Particularizations for the cases of positive or negative $ν$ are considered.

연구 동기 및 목표

• 순서 $ \nu $ 에 대한 $ J_\nu(z) $ 의 k-번째 도함수에 대한 닫힌 형태 표현을 유도하는 것. 이는 실수 및 복소수 $ \nu $ 에 대해 유효하다.
• 시리즈 전개에서 중요한 역할을 하는 $ \Gamma^{-1}(\nu+1+m) $, $ (\nu+1+m)_m $, 및 $ (\nu+1+m)^{-1}_m $ 의 도함수에 대한 명시적 공식을 제공하는 것.
• 반복적으로 낮은 차수의 도함수를 평가하지 않고도 고차수 도함수를 직접 계산할 수 있도록 하여 수치적 효율성을 향상시키는 것.
• 특수 함수 항등식과 급수 전개를 사용하여 정수 $ \nu $ 의 경우, 즉 양수 및 음수 정수의 경우로 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• $ J_\nu(z) = (z/2)^\nu \sum_{m=0}^\infty \frac{(-z^2/4)^m}{m! \Gamma(\nu+1+m)} $ 의 급수 정의를 바탕으로 $ \nu $ 에 대한 미분을 수행한다.
• 감마 함수 및 Pochhammer 함수의 도함수를 다루기 위해 보조 함수를 도입한다: $ \mathcal{G}^{(k)}(t) = \frac{d^k}{dt^k} \Gamma^{-1}(t) $, $ \mathcal{P}_m^{(k)}(t) = \frac{1}{k!} \frac{d^k}{dt^k} (t)_m $, 및 $ \mathcal{Q}_m^{(k)}(t) = \frac{1}{k!} \frac{d^k}{dt^k} (t)_m^{-1} $.
• $ \mathcal{P}_m^{(k)}(t) $ 에 대한 명시적 표현을 제1종 Stirling 수를 사용하여 유도한다: $ \mathcal{P}_m^{(k)}(t) = (-1)^{m-k} \sum_{l=0}^{m-k} (-1)^l \binom{m}{l} s(m-l,k) (t)_l $, $ m \geq k $ 인 경우.
• 생성 함수와 급수 전개를 사용하여 $ \mathcal{G}^{(k)}(1+\varepsilon) $ 를 $ \varepsilon $ 의 거듭제곱 급수로 표현하며, $ |\varepsilon| < 1 $ 인 경우에 유효하다.
• $ \mathcal{Q}_m^{(k)}(t) $ 에 대한 재귀 관계, 예를 들어 $ \mathcal{Q}_{m+1}^{(k)}(t) = \left( \mathcal{Q}_m^{(k)}(t) - \mathcal{Q}_{m+1}^{(k-1)}(t) \right)/(t+m) $ 를 사용하여 수치적 안정성을 확보한다.
• $ \partial^k J_\nu(z)/\partial \nu^k $ 의 최종 표현식은 급수 재전개를 통해 도출되며, $ \nu = N + \varepsilon $ (여기서 $ N \in \mathbb{Z} $) 와 $ |\Re \varepsilon| \leq 1/2 $ 인 경우에 따라 경우를 나누어 처리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 $ \nu $ 에 대한 $ J_\nu(z) $ 의 k-번째 도함수에 대해 반복적으로 낮은 차수의 도함수를 평가하지 않고도 닫힌 형태의 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ2 역 감마 함수 및 Pochhammer 기호의 도함수는 Stirling 수와 일반화된 베르누이 다항식과 같은 알려진 특수 함수로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 순서 $ \nu $ 가 양수 또는 음수 정수일 경우 $ \partial^k J_\nu(z)/\partial \nu^k $ 의 정확한 표현식은 무엇인가?
• RQ4 이 방법은 복소수 $ \nu $ 에 대해 어떻게 확장되며, 수렴성 및 수치적 안정성 측면에서의 제약 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $ \nu $ 에 대한 $ J_\nu(z) $ 의 k-번째 도함수는 $ \mathcal{G}^{(k_2)}(1+\varepsilon) $, $ \mathcal{P}_{-N-m}^{(k-k_1-k_2)}(-\varepsilon) $, 및 $ \mathcal{Q}_{m+N}^{(k-k_1-k_2)}(1+\varepsilon) $ 를 포함하는 유한 합으로 표현되며, 이는 직접 계산을 가능하게 한다.
• $ \nu = n \in \mathbb{Z}_{\geq 0} $ 인 경우, 첫 번째 도함수는 $ \left. \frac{\partial}{\partial \nu} J_\nu(z) \right|_{\nu=n} = \left( \ln(z/2) + \gamma \right) J_n(z) - (z/2)^n \sum_{m=0}^\infty \frac{(-z^2/4)^m}{m! (m+n)!} \hat{H}_{m+n}^{(1)} $ 로 주어지며, 여기서 $ \gamma $ 는 오일러-마스케로니 상수이다.
• $ \nu = -n $, $ n > 0 $ 인 경우, 첫 번째 도함수는 $ \left. \frac{\partial}{\partial \nu} J_\nu(z) \right|_{\nu=-n} = \left( \ln(z/2) + \gamma \right) J_{-n}(z) - (z/2)^{-n} \left[ (-1)^n \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(z^2/4)^m}{m! (n-m-1)!} + \sum_{m=n}^\infty \frac{(-z^2/4)^m}{m! (m-n)!} \hat{H}_{m-n}^{(1)} \right] $ 로 주어진다.
• 복소수 $ \nu $ 에 대해서도 이 방법은 $ |\Im \nu| \lesssim 1/2 $ 인 한 유효하다. 다만 $ |t| $ 가 클수록 $ \mathcal{G}^{(k)}(t) $ 의 급수 수렴성이 악화된다.
• $ \mathcal{P}_m^{(k)}(t) $ 에 대한 명시적 표현은 Stirling 수를 사용하여 유도된다: $ \mathcal{P}_m^{(k)}(t) = (-1)^{m-k} \sum_{l=0}^{m-k} (-1)^l \binom{m}{l} s(m-l,k) (t)_l $, $ m \geq k $ 인 경우.
• 일반화된 베르누이 다항식 표현 $ \mathcal{P}_m^{(k)}(t) = (-1)^{m-k} \binom{m}{k} B_{m-k}^{(m+1)}(1-t) $ 는 다른 닫힌 형태 표현을 제공한다.