[논문 리뷰] Derived algebraic geometry, determinants of perfect complexes, and applications to obstruction theories for maps and complexes

Timo Schürg, Bertrand Toën외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 딜리뉴-맘포드 스택의 준가소적 유도 강화체에 자연스럽게 기계적으로 완전한 방해이론을 부여하는 유도 대수기하학적 프레임워크를 수립한다. 이는 K3 곡면과 칼라비-야우 3차원 다양체 위의 매핑과 완전 복합체의 모듈리에 적용되며, 오쿠노프-모울릭-판다리파데-타이터스의 감소된 방해이론을 복원하는 감소된 유도 모듈리 스택을 구성한다. 이는 반사성 지도에 의존하지 않는 전역 기하학적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

We show how a quasi-smooth derived enhancement of a Deligne-Mumford stack X naturally endows X with a functorial perfect obstruction theory in the sense of Behrend-Fantechi. This result is then applied to moduli of maps and perfect complexes on a smooth complex projective variety. For moduli of maps, we consider X=S an algebraic K3-surface, $g\geq 0$, and $β$ a curve class, and we construct a derived stack whose truncation is the usual stack of pointed stable maps from curves of genus g to S hitting the class $β$, and such that the inclusion of the trunaction induces on a perfect obstruction theory whose tangent and obstruction spaces coincide with the corresponding reduced spaces of Okounkov-Maulik-Pandharipande-Thomas. We give two further applications to moduli of complexes. For a K3-surface S we show that the stack of simple perfect complexes on S is smooth. This result was proved with different methods by Inaba for the corresponding coarse moduli space. Finally, we construct a map from the derived stack of stable embeddings of curves (into a smooth complex projective variety X) to the derived stack of simple perfect complexes on X with vanishing negative Ext's, and show how this map induces a morphism of the corresponding obstruction theories when X is a Calabi-Yau threefold. An important ingredient of our construction is a perfect determinant map from the derived stack of perfect complexes to the derived stack of line bundles whose tangent morphism is, pointwise, Illusie's trace map for perfect complexes. We expect that this determinant map might be useful in other contexts as well.

연구 동기 및 목표

• 유도 대수기하학을 통해 반사성 지도에 의존하지 않는 기하학적이고 함의적인 완전한 방해이론의 구성.
• 반사성 정리에 의존하지 않고 안정적 매핑에 대한 감소된 방해이론의 존재를 엄밀히 증명.
• K3 곡면 위의 완전 복합체의 유도 스택이 매끄럽다는 것을 보이며, 이는 이나바의 결과를 스택 수준으로 확장한다.
• 칼라비-야우 3차원 다양체 위의 안정적 매핑의 유도 스택에서 단순한 완전 복합체의 유도 스택으로 가는 사상이 방해이론과 호환되도록 구성한다.
• 완전 복합체의 유도 스택에서 선다발의 유도 스택으로 가는 완전한 행렬식 사상의 도입 및 연구를 통해, 그 접선이 이룰리에의 추적 사상과 일치한다.

제안 방법

• 모듈리 스택의 준가소적 유도 강화체를 사용하여, 유도 대수기하학을 통해 기계적인 완전한 방해이론을 유도한다.
• 유도 대수기하학에서의 기본 전환 정리를 적용하여, 유도 스택의 접선 복합체와 아티야 클래스의 코homology를 연결한다.
• 유도 피카르 스택을 이중 벡터 공간으로의 기계적 사영을 통해 수정함으로써, K3 곡면으로의 안정적 매핑의 감소된 유도 스택을 구성한다.
• 완전 복합체의 유도 스택에서 선다발의 유도 스택으로 가는 완전한 행렬식 사상을 정의하며, 그 접선 사상은 이룰리에의 추적 사상과 일치한다.
• 유도 스택을 사용하여 X에 대한 안정적 매핑의 유도 스택에서 X 위의 완전 복합체의 유도 스택으로 가는 사상을 정의하며, X가 차원 3인 칼라비-야우 다양체일 경우 방해이론과 호환된다.
• 유도 기본 전환 동형을 사용하여, 복합체의 당김과 유도 설정에서의 접선 공간을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 K3 곡면으로의 안정적 매핑에 대한 완전한 방해이론은 반사성 지도에 의존하지 않고 유도 대수기하학을 통해 기하학적으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 K3 곡면 위의 완전 복합체의 유도 스택은 매끄러운 구조를 갖는가? 이는 군모듈리 공간과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 칼라비-야우 3차원 다양체로의 안정적 매핑의 유도 스택은 음의 엑스트 그룹이 0인 단순한 완전 복합체의 유도 스택과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 완전 복합체에서 선다발로 가는 행렬식 사상은 방해이론을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 오쿠노프-모울릭-판다리파데-타이터스의 감소된 방해이론은 유도 강화체의 절단으로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• K3 곡면으로의 안정적 매핑의 유도 스택인 $\mathbb{R}\overline{\mathbf{M}}^{\textrm{red}}_{g}(S;\beta)$ 는 준가소적이며, 그 절단은 일반적인 모듈리 스택 $\overline{\mathbf{M}}_{g}(S;\beta)$ 를 복원한다.
• 유도 강화체를 통한 유도된 방해이론은 오쿠노프-모울릭-판다리파데-타이터스의 감소된 방해이론과 정확히 일치하며, 접선 공간과 장애 공간이 동일하다.
• K3 곡면 위의 단순한 완전 복합체의 스택은 유도 스택로서 매끄럽다. 이는 이나바의 군모듈리 공간 결과를 스택 수준으로 확장한다.
• 칼라비-야우 3차원 다양체 위의 완전 복합체의 유도 스택으로 가는 안정적 매핑의 유도 스택에서 유도된 사상은 방해이론의 사상으로서 호환되며, 감소된 구조를 유지한다.
• 완전 복합체의 유도 스택에서 선다발의 유도 스택으로 가는 완전한 행렬식 사상의 접선 사상은 정확히 이룰리에의 추적 사상과 일치하며, 이는 고전적 구성의 전역 기하학적 해석을 제공한다.
• 이 구성은 유도 스택 간 사상과 자연스럽게 호환되는 완전한 함의적 방해이론을 제공하며, 베르렌드-판테키의 가상의 당김과 함의성 결과를 일반화한다.