[논문 리뷰] Derived categories of (one-sided) exact categories and their localizations

Ruben Henrard, Adam-Christiaan van Roosmalen|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정확한 및 한쪽 정확한 범주에 대한 유계 유도 범주에 대해 버디에르 국소화 시퀀스를 수립하며, 퍼콜레이팅 부분범주에서의 국소화가 두 단계 과정을 통해 유도 동치를 유도함을 보여준다: 먼저 사상의 집합에서 국소화하여 한쪽 정확한 범주를 얻고, 그 다음에 그 정확한 캄을 취한다. 핵심 결과는 몫 범주의 유도 범주가 원래 유도 범주의 버디에르 몫임을 보이며, 이는 강화와 호환되며 비연결 K-이론과 같은 불변량에 적용 가능하다.

ABSTRACT

We consider the quotient of an exact or one-sided exact category $\mathcal{E}$ by a so-called percolating subcategory $\mathcal{A}$. For exact categories, such a quotient is constructed in two steps. Firstly, one localizes $\mathcal{E}$ at a suitable class $S_\mathcal{A} \subseteq \operatorname{Mor}(\mathcal{E})$ of morphisms. The localization $\mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ need not be an exact category, but will be a one-sided exact category. Secondly, one constructs the exact hull $\mathcal{E}{/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ of $\mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ and shows that this satisfies the 2-universal property of a quotient amongst exact categories. In this paper, we show that this quotient $\mathcal{E} o \mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ induces a Verdier localization $\mathbf{D}^b(\mathcal{E}) o \mathbf{D}^b(\mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A})$ of bounded derived categories. Specifically, (i) we study the derived category of a one-sided exact category, (ii) we show that the localization $\mathcal{E} o \mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ induces a Verdier quotient $\mathbf{D}^b(\mathcal{E}) o \mathbf{D}^b(\mathcal{E}[S^{-1}_\mathcal{A}])$, and (iii) we show that the natural embedding of a one-sided exact category $\mathcal{F}$ into its exact hull $\overline{\mathcal{F}}$ lifts to a derived equivalence $\mathbf{D}^b(\mathcal{F}) o \mathbf{D}^b(\overline{\mathcal{F}})$. We furthermore show that the Verdier localization is compatible with several enhancements of the bounded derived category, so that the above Verdier localization can be used in the study of localizing invariants, such as non-connective $K$-theory.

연구 동기 및 목표

• 아벨 범주나 정확한 범주보다 더 일반적인 한쪽 정확한 범주로 유도 범주 이론을 확장하기 위해.
• 한쪽 정확한 범주와 그 정확한 캄 사이의 유도 동치를 유도하여 호모로지 불변량을 유지하기 위해.
• 퍼콜레이팅 부분범주에서의 국소화가 유계 유도 범주에 버디에르 국소화를 유도함을 보여주기 위해.
• 유도 국소화가 dg 및 ∞-범주적 강화와 호환됨을 보여주기 위해.
• 국소적으로 컴acts한 아벨 군과 관련된 범주에 이 틀을 적용하여, 이러한 범주의 유도 범주가 국소화 하에 잘 행동함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 한쪽 정확한 범주의 유도 범주를 유계 복합체와 친화적인 준동형사상에 의거하여 정의한다.
• 정확한 범주 E에서 S_A^{-1}로의 국소화 함자를 정의하며, 이는 퍼콜레이팅 부분범주 A와 관련된 오른쪽 곱셈 체계 S_A를 역전시한다.
• E[S_A^{-1}]가 쿠일렌의 의미에서 정확하지 않더라도 한쪽 정확한 범주임을 증명한다.
• E[S_A^{-1}]의 정확한 캄을 그 안에 포함된 가장 작은 정확한 범주로 정의하며, 이를 E//A로 표기한다.
• 한쪽 정확한 범주를 그 정확한 캄에 매장하는 것은 유계 유도 범주에 유도 동치를 유도함을 보인다.
• 유도 국소화가 dg 및 ∞-범주적 강화와 호환됨을 확립하여 K-이론 불변량에의 적용 가능성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 범주가 퍼콜레이팅 부분범주에서 국소화될 때, 그 유계 유도 범주에 버디에르 국소화가 유도되는가?
• RQ2 한쪽 정확한 범주의 유도 범주는 그 정확한 캄의 유도 범주와 의미 있게 비교될 수 있는가?
• RQ3 국소화된 한쪽 정확한 범주의 정확한 캄의 유도 범주는 원래 범주의 유도 범주와 동치인가?
• RQ4 유도 국소화는 dg 강화 또는 ∞-범주적 강화와 같은 고차 범주적 강화와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 이 틀은 국소적으로 컴acts한 아벨 군과 같은 비아벨 설정에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 국소화 E → E[S_A^{-1}]는 유도 범주 D^b(E) → D^b(E[S_A^{-1}])에서 버디에르 몫을 유도하며, 이 핵심은 A에 속하는 성분을 가진 복합체들로 생성된다.
• 정확한 캄 구성 E[S_A^{-1}] → E//A는 유도 동치 D^b(E[S_A^{-1}]) ≃ D^b(E//A)를 유도하므로, 정확한 캄의 유도 범주는 국소화된 범주의 유도 범주와 동치이다.
• 완전한 유도 국소화 시퀀스 D^b_A(E) → D^b(E) → D^b(E//A)가 성립하며, 여기서 D^b_A(E)는 A에 속하는 복합체들로 생성된 두껍고 닫힌 부분범주이다.
• 한쪽 정확한 범주와 그 정확한 캄 사이의 유도 동치는 dg 강화 및 ∞-범주적 강화와 호환된다.
• 이 틀은 국소적으로 컴acts한 아벨 군의 범주에 적용 가능하며, 이 범주에서의 국소화가 정확한 유도 범주를 유도함을 보여준다.
• R0* 조건을 만족하는 열림-정확한 범주의 약한 아이디포텐트 완비화는 유도 범주와 호환되며, 이는 유계 유도 범주에 삼각 동치를 유도한다.