[논문 리뷰] Derived Higher Hochschild Homology, Topological Chiral Homology and Factorization algebras

Rafael J. L. Morcillo, Thomas Tradler외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $(\infty,1)$-범주적 맥락에서 유도된 고차 호크시드 호몰로지, 위상수학적 칼리드 호몰로지, 그리고 분해 대수 사이의 기본적인 동치를 확립한다. 고차 호크시드 함자와 위상수학적 칼리드 호몰로지 사이에 자연스러운 동치가 존재하며, 이는 공통 도메인에서 성립함을 증명한다. 또한 위상수학적 칼리드 호몰로지가 국소적으로 상수인 분해 대수와 $E_n$-대수 사이의 동치를 유도하며, 다양체의 곱에 대해 Fubini 유형의 지수 법칙을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the higher Hochschild functor and its relationship with factorization algebras and topological chiral homology. To this end, we emphasize that the higher Hochschild complex is a $(\infty,1)$-functor from the category $\hsset imes \hcdga$ to the category $\hcdga$ (where $\hsset$ and $\hcdga$ are the $(\infty,1)$-categories of simplicial sets and commutative differential graded algebras) and give an axiomatic characterization of this functor. From the axioms we deduce several properties and computational tools for this functor. We study the relationship between the higher Hochschild functor and factorization algebras by showing that, in good cases, the Hochschild functor determines a constant commutative factorization algebra. Conversely, every constant commutative factorization algebra is naturally equivalent to a Hochschild chain factorization algebra. Similarly, we study the relationship between the above concepts and topological chiral homology. In particular, we show that on their common domains of definition, the higher Hochschild functor is naturally equivalent to topological chiral homology. Finally, we prove that topological chiral homology determines a locally constant factorization algebra and, further, that this functor induces an equivalence between locally constant factorization algebras on a manifold and (local system of) $E_n$-algebras. We also deduce that Hochschild chains and topological chiral homology satisfies an exponential law, i.e., a Fubini type Theorem to compute them on products of manifolds.

연구 동기 및 목표

• 단순 복합체와 CDGA에서 CDGA로의 $(\infty,1)$-함수로서 유도된 고차 호크시드 함자의 축약적 특성화를 제공한다.
• 유도적이고 호모토피론적인 맥락에서 고차 호크시드 호몰로지, 분해 대수, 위상수학적 칼리드 호몰로지 간의 관계를 명확히 한다.
• 위상수학적 칼리드 호몰로지가 국소적으로 상수인 분해 대수를 결정하고, 이 구성이 $E_n$-대수와의 동치를 유도함을 확립한다.
• 다양체의 곱에 대해 위상수학적 칼리드 호몰로지에 대한 Fubini 유형의 정리(지수 법칙)를 증명한다.
• 고차 호크시드 함자가 CDGA와 공간의 범주에서 위상수학적 칼리드 호몰로지와 자연스럽게 동치이며, 이는 비방향성 다양체에 대한 블롭 복합체와 관련이 있음을 보인다.

제안 방법

• 고차 호크시드 호몰로지를 $(\infty,1)$-함수 $CH: sSet_\infty \times CDGA_\infty \to CDGA_\infty$로 형식화하며, 그 호모토피적 및 함자적 성질을 강조한다.
• 국소성 공리(절단)와 호모토피 불변성을 사용하여 고차 호크시드 함자를 특성화함으로써, 호모토피 쌍대합을 통한 계산이 가능하게 한다.
• Dwyer-Kan 국소화와 $(\infty,1)$-범주론을 적용하여 호크시드 복합체의 유도 구조를 호모토피적으로 일관되게 모델링한다.
• 국소적으로 상수인 분해 대수의 푸시포워드를 통해 위상수학적 칼리드 호몰로지와 유도된 고차 호크시드 함수 사이의 표준적 동치를 확립한다.
• 블롭 복합체 프레임워크를 활용하여 비방향성 다양체에 대해 위상수학적 칼리드 호몰로지와의 동치를 보이며, 주요 결과를 더 넓은 위상수학적 맥락으로 확장한다.
• 기본 맵을 沿해 푸시포워드를 사용하고 국소적으로 상수인 분해 대수의 구조를 활용하여 다양체의 곱에 대한 Fubini 유형의 정리를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유도 맥락에서 고차 호크시드 함자는 어떻게 $(\infty,1)$-함수로서 축약적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 고차 호크시드 호몰로지, 분해 대수, 위상수학적 칼리드 호몰로지 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 위상수학적 칼리드 호몰로지가 국소적으로 상수인 분해 대수와 $E_n$-대수 사이의 동치를 유도하는가?
• RQ4 다양체의 곱에 대해 위상수학적 칼리드 호몰로지에 대한 Fubini 유형의 정리(지수 법칙)가 존재하는가?
• RQ5 블롭 복합체는 비방향성 다양체에 대해 위상수학적 칼리드 호몰로지와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• CDGA와 단순 복합체의 범주에서 유도된 고차 호크시드 함자는 위상수학적 칼리드 호몰로지와 자연스럽게 동치이다.
• 위상수학적 칼리드 호몰로지가 국소적으로 상수인 분해 대수를 결정하며, 이 구성은 다양체 위의 국소적으로 상수인 분해 대수와 $E_n$-대수 사이의 동치를 유도한다.
• Fubini 유형의 정리가 성립한다: $\int_{M\times N}\mathcal{A} \cong \int_M(\int_N\mathcal{A})$ 는 $E_d$-대수로서 성립하며, 호크시드 체인에 대한 지수 법칙을 일반화한다.
• 모든 CDGA $A$에 대해 위상수학적 칼리드 호몰로지 $\int_M A$ 는 호모토피 불변성임을 보이며, 따라서 $M$과 $N$ 이 동치 호모로지인 다양체일 경우 $\int_M A \cong \int_N A$ 임을 의미한다.
• 고차 호크시드 복합체 $CH_{S^1}(A)$ 는 고전적 호크시드 복합체 $CH_\bullet(A) = A^\otimes^{\bullet+1}$ 를 회복하며, 고전 이론과의 일致성을 확인한다.
• 비방향성 다양체에 대해 블롭 복합체는 위상수학적 칼리드 호몰로지와 동치이며, 주요 동치 결과를 방향성이 없는 맥락으로까지 확장한다.