[논문 리뷰] Derived Hochschild functors over commutative adic algebras

Liran Shaul|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 22.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Noetherian 기저환 위의 아디크 대수에 대해 완비성과 토판성 변형을 포함한 유도 Hochschild 호모로지 및 코호몰로지 이론을 개발한다. 이는 약한 프로정규성과 DG-아핀 형식 스킴을 이용한 것으로, 핵심 결과로 기저환은 Noetherian이고 대수 A가 그 위에서 본질적으로 유한형일 경우 이러한 유도 함자들이 Noetherian 범주 내에서 명시적인 공식을 갖는다는 것을 보여주며, 특히 체를 기저로 쓰는 경우 고전적 동형을 복원한다.

ABSTRACT

Let $\k$ be a commutative ring, and let $(A,\mfrak{a})$ be an adic ring which is a $\k$-algebra. We study complete and torsion versions of the derived Hochschild homology and cohomology functors of $A$ over $\k$. To do this, we first establish weak proregularity of certain ideals in flat base changes of noetherian rings. Next, we develop a theory of DG-affine formal schemes, extending the Greenlees-May duality and the MGM equivalence to this setting. Finally, we define complete and torsion derived Hochschild homology and cohomology functors in this setting, and show that if $\k$ is noetherian and $(A,\mfrak{a})$ is essentially of finite type (in the adic sense) over $\k$, then there are formulas to compute them that stay inside the noetherian category. In the classical case, where $\k$ is a field, we deduce that topological Hochschild cohomology and discrete Hochschild cohomology are isomorphic.

연구 동기 및 목표

• 유도 Hochschild 호모로지 및 코호몰로지를 교환환 위의 아디크 대수의 맥락으로 확장하는 것.
• 체 $\/Bbbk \to A$ 가 평탄하지 않을 경우 일반적으로 $A \otimes_{\Bbbk} A$ 가 Noetherian가 되지 않는다는 문제를 다루는 것, 특히 아디크 맥락에서의 문제.
• 적절한 조건 하에 Noetherian 범주 내에 머무르는 완비성 및 토판성 변형의 유도 Hochschild 함자를 정의하는 것.
• DG-아린 형식 스킴의 맥락에서 이중성과 MGM 동치를 수립하는 것.
• 체를 기저로 쓰는 경우, 위상수학적 및 이산 Hochschild 코호몰로지가 서로 동형임을 보이는 것.

제안 방법

• 기저환 $\Bbbk$ 가 Noetherian이고 $(A,\mathfrak{a})$ 가 $\Bbbk$ 위에서 본질적으로 유한형일 경우, $A \otimes_{\Bbbk} A$ 내의 이상 $\mathfrak{a}^e = \mathfrak{a} \otimes_{\Bbbk} A + A \otimes_{\Bbbk} \mathfrak{a}$ 가 약한 프로정규임을 증명하는 것.
• Greenlees-May 이중성과 MGM 동치를 이 맥락으로 확장하기 위해 DG-아린 형식 스킴 이론을 개발하는 것.
• 완비 유도 Hochschild 호모로지 함자를 $\mathfrak{a}$-완비 유도 범주에 값이 있는 $\mathrm{L}\Lambda_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$ 로 정의하는 것.
• 토판성 유도 Hochschild 호모로지 함자를 $\mathfrak{a}$-토판성 유도 범주에 값이 있는 $\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$ 로 정의하는 것.
• K-입직 해상형과 유도 완비화 함자를 이용해 토판성 함자를 완비된 환 $\widehat{A \otimes_{\Bbbk} A}$ 위의 유도 토판성과 연결하는 것.
• 약한 프로정규성 조건 하에서 등식 $\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-)) \cong A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Lambda_I(\widetilde{A} \otimes_{\Bbbk} \widetilde{A})} \mathrm{R}\Gamma_I(\mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$ 를 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저환은 Noetherian일 때, 유도 Hochschild 함자는 아디크 대수로 의미적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 유도 토판성 또는 완비화가 $A \otimes_{\Bbbk} A$ 에서 유한성을 유지하고 명시적 계산이 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ3 DG-아린 형식 스킴의 맥락에서 Greenlees-May 이중성과 유사한 이중성 또는 동치가 존재하는가?
• RQ4 체 위의 형식적 멱급수환에서의 유도 Hochschild 코호몰로지는 위상수학적 형태와 일치하는가?
• RQ5 토판성 및 완비 유도 Hochschild 함수는 Noetherian 범주 내에서 공식을 통해 계산될 수 있는가?

주요 결과

• 기저환 $\Bbbk$ 가 Noetherian이고 $(A,\mathfrak{a})$ 가 $\Bbbk$ 위에서 본질적으로 유한형일 경우, $A \otimes_{\Bbbk} A$ 내의 이상 $\mathfrak{a}^e \subseteq A \otimes_{\Bbbk} A$ 는 약한 프로정규성이므로 Greenlees-May 이론의 적용이 가능하다.
• 토판성 유도 Hochschild 호모로지 함수는 명시적인 공식을 갖는다: $\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-)) \cong A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Lambda_I(\widetilde{A} \otimes_{\Bbbk} \widetilde{A})} \mathrm{R}\Gamma_I(\mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$.
• 기저환 $\Bbbk$ 가 체일 경우, 유도 Hochschild 코호몰로지와 위상수학적 Hochschild 코호몰로지는 서로 동형이며, 이는 위상수학 맥락에서 고전 결과를 복원한다.
• 완비 유도 Hochschild 호모로지 함수는 $\mathfrak{a}$-완비 유도 범주에 값이 있는 $\mathrm{L}\Lambda_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$ 로 정의된다.
• 약한 프로정규성 덕분에 $A \otimes_{\Bbbk} A$ 위에서 유도 토판성 및 완비화 함수가 잘 작동하여, 무한대 역 Koszul 복합체를 통해 명시적 계산이 가능하다.
• 아디크 맥락으로의 MGM 동치와 Greenlees-May 이중성의 확장을 위해 DG-아린 형식 스킴 이론이 개발되었다.