[논문 리뷰] Deriving peridynamic influence functions for one-dimensional elastic materials with periodic microstructure

Xiao Xu, John T. Foster|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 04.

Numerical methods in engineering참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다항식 안자(Ansatz)를 사용하여 미세구조가 주기적인 1차원 탄성 재료의 페르디나믹 영향 함수를 미세스케일 탄성역학 방정식을 평균화함으로써 물리기반 방법으로 유도한다. 유도된 이산 영향 함수는 미세구조적 특성에서 유래하여 표준 선형 감쇠 영향 함수보다 훨씬 더 정확한 파동 역학을 제공하며, 고차 다항식 근사가 정확도를 더욱 향상시키면서도 계산 효율성을 유지한다.

ABSTRACT

The influence function in peridynamic material models has a large effect on the dynamic behavior of elastic waves and in turn can greatly effect dynamic simulations of fracture propagation and material failure. Typically, the influence functions that are used in peridynamic models are selected for their numerical properties without regard to physical considerations. In this work, we present a method of deriving the peridynamic influence function for a one-dimensional initial/boundary value problem in a material with periodic microstructure. Starting with the linear local elastodynamic equation of motion in the microscale, we first use polynomial anzatzes to approximate microstructural displacements and then derive the homogenized nonlocal dynamic equation of motion for the macroscopic displacements; which, is easily reformulated as linear peridyamic equation with a discrete influence function. The shape and localization of the discrete influence function is completely determined by microstructural mechanical properties and length scales. By comparison with a highly resolved microstructural finite element model and the standard linear peridynamic model with a linearly decaying influence function, we demonstrate that the influence function derived from microstructural considerations is more accurate in predicting time dependent displacements and wave dynamics.

연구 동기 및 목표

• 수동적 선택이 아닌 미세구조 기계학을 기반으로 페르디나믹 영향 함수를 체계적으로 유도하는 방법을 개발하는 것.
• 이질적 재료에서 시간에 따라 변화하는 변위와 파동 전파를 예측하는 페르디나믹 시뮬레이션의 정확도를 향상시키는 것.
• 미세구조 기반 영향 함수가 파동 역학에서 표준 선형 감쇠 커널보다 뛰어나다는 것을 입증하는 것.
• 미세스케일 이질성과 페르디나믹 모델의 비국소 커널 형태 사이의 관계를 설정하는 것.
• 이를 바탕으로 2차원 이상 및 비주기적 미세구조로의 방법 확장 가능성을 마련하는 것.

제안 방법

• 주기적 단위세포 내에서 미세구조적 변위를 다항식 안자로 근사한다.
• 미세스케일 탄성역학 방정식에서 평균화된 비국소 동역학 운동 방정식을 거시적 변위에 대해 유도한다.
• 평균화된 방정식을 이산 영향 함수를 갖는 선형 페르디나믹 방정식으로 재구성한다.
• 미세구조적 기계적 특성과 길이 척도를 기반으로 영향 함수를 계산하여 부호가 변화하는 커널을 도출한다.
• 유도된 커널을 고해상도 유한요소모델(FEM)과 표준 페르디나믹 모델(선형 감쇠)에 대해 검증한다.
• 정확도 향상을 위해 고차 다항식 근사를 적용하고 수렴성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이질적 재료의 미세구조에서 페르디나믹 영향 함수를 어떻게 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 표준 페르디나믹 모델 대비 미세구조 기반 영향 함수가 파동 역학 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 다항식 안자스의 차수는 유도된 영향 함수의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 미세구조 기반 영향 함수는 동적 균열 시나리오에서 파동 분산을 줄이고 시뮬레이션 정밀도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 영향 함수가 수렴하는 수렴 영역에서 고전적 평균화 이론과 비교해 볼 때 어떻게 다른가?

주요 결과

• 표준 선형 감쇠 페르디나믹 커널에 비해 미세구조 기반 영향 함수는 중간점 변위와 파동 역학 예측에서 훨씬 더 정확한 결과를 도출한다.
• 6차까지의 고차 다항식 안자스는 정확도를 향상시키며, 4차 이상에서는 추가적인 이득이 미미하다.
• 유도된 영향 함수는 이산적이고 부호가 변화하는 형태이며, 기존에 파동 분산을 감소시키는 데 효과적인 형태와 일치한다.
• 유도된 커널을 사용한 비국소 모델은 훨씬 적은 자유도를 사용함에도 불구하고, 전체 해상도가 높은 유한요소모델(FEM)보다 파동 역학 측면에서 더 높은 정확도를 달성한다.
• 영향 함수는 수렴 영역에서 국소 평균화 이론과 일치하여 그 점근적 정확성이 검증된다.
• 비국소 성격을 지닌 미세구조 기반 비국소 모델의 계산 비용은 고해상도 유한요소모델보다 낮다.