[논문 리뷰] Description of coupling in the category of transitive Lie algebroids

Li XiaoYu, Mishchenko, Alexander S.|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정된 유한차원 리 대수 $\mathfrak{g}$ 를 갖는 전이적 리 대수다발과 그에 대한 모든 결합의 집합 사이의 일대일 대응을 확립한다. 이는 리 대수다발의 구조군이 ${\Gamma\text{Aut}}(\mathfrak{g})^\delta$ 인 국소적으로 평탄한 다발의 동치류 집합과의 대응이며, 이는 전이적 리 대수다발의 분류공간의 기하적 구성을 가능하게 하고, 그 특성류의 범주론적 기술을 명확히 한다.

ABSTRACT

In our previous paper (arXiv:1306.5449) we have given a sufficient and necessary condition when the coupling between Lie algebra bundle (LAB) and the tangent bundle exists in the sense of Mackenzie (\cite{Mck-2005}, Definition 7.2.2) for the theory of transitive Lie algebroids. Namely we have defined a new topology on the group $\Aut( g)$ of all automorphisms of the Lie algebra $ g$, say $\Aut( g)^δ$, and show that tangent bundle $TM$ can be coupled with the Lie algebra bundle $L$ if and only if the Lie algebra bundle L admits a local trivial structure with structural group endowed with such new topology. But the question how many couplings exist under these conditions still remains open. Here we make the result more accurate and prove that there is a one-to-one correspondence between the family $Coup(L)$ of all coupling of the Lie algebra bundle $L$ with fixed finite dimensional Lie algebra $ g$ as the fiber and the structural group $\Aut( g)$ of all automorphisms of Lie algebra $ g$ and the tangent bundle $TM$ and the family $LAB^δ(L)$ of equivalent classes of local trivial structures with structural group $\Aut( g)$ endowed with new topology $\Aut( g)^δ$. This result gives a way for geometric construction of the classifying space for transitive Lie algebroids with fixed structural finite dimensiaonal Lie algebra $ g$. Hence we can clarify a categorical description of the characteristic classes for transitive Lie algebroids and a comparison with that by J. Kubarski.

연구 동기 및 목표

• 이전 연구에서 확립된 조건 하에, 리 대수다발과 접선다발 사이에 존재하는 결합의 수가 몇 개인가 하는 열린 질문을 해결하는 것.
• 고정된 유한차원 리 대수 $\mathfrak{g}$ 를 섬유로 갖는 전이적 리 대수다발의 분류공간에 대한 기하적 실현을 제공하는 것.
• 리 대수 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 에 대한 위상과의 연결을 통해 전이적 리 대수다발의 특성류의 범주론적 기술을 명확히 하는 것.
• 새로운 위상에 대한 구조군을 갖는 선형 접속(수정된 수준에서)과 국소적으로 평탄한 다발의 구조 사이의 정확한 대응을 설정하는 것.

제안 방법

• 유한차원 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 자동사상군에 표준 위상보다 더 높은 세부성의 새로운 위상 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 를 정의한다.
• 경로 沿해 평행이동을 통해 각 결합(수정된 수준의 접속)에 대해 국소적으로 평탄한 다발의 구조군 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 를 부여하는 사상 $f: \mathrm{Coup}(L) \to \mathrm{LAB}^\delta(L)$ 를 구성한다.
• 국소적 평탄화와 단위분할을 사용하여, 다발의 평탄한 다발의 구조에서 접속을 구성함으로써, 역사상 $g: \mathrm{LAB}^\delta(L) \to \mathrm{Coup}(L)$ 를 정의한다.
• 사상 $f$ 와 $g$ 가 잘 정의되어 있으며 상호 역관계에 있음을 증명함으로써, 두 집합 사이의 전단사 대응을 확립한다.
• 이 전단사 대응을 통해, 섬유가 $\mathfrak{g}$ 인 전이적 리 대수다발의 분류공간 $\mathcal{B}_\mathfrak{g}$ 가 $\mathrm{LAB}^\delta(L)$ 를 통해 기하학적으로 실현될 수 있음을 보인다.
• 이 대응을 활용하여, J. Kubarski 의 이전 결과와 비교 가능한 특성류의 범주론적 기술을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 대수다발 $L$ 과 접선다발 $TM$ 사이에 결합이 존재할 조건은 무엇인가?
• RQ2 해당 결합이 존재할 경우, $L$ 과 $TM$ 사이에 존재하는 서로 다른 결합의 수는 몇 개인가?
• RQ3 리 대수다발 $L$ 에 대한 결합과 구조군 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 를 갖는 국소적으로 평탄한 다발의 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 고정된 섬유 $\mathfrak{g}$ 를 갖는 전이적 리 대수다발의 분류공간은 이 대응을 통해 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 의 새로운 위상은 특성류의 분류에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 리 대수다발 $L$ 의 모든 결합의 집합 $\mathrm{Coup}(L)$ 과, 구조군 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 를 갖는 국소적으로 평탄한 다발의 동치류 집합 $\mathrm{LAB}^\delta(L)$ 사이에 일대일 대응이 존재한다.
• $\mathrm{Coup}(L)$ 에서 $\mathrm{LAB}^\delta(L)$ 로의 사상 $f$, 즉 평행이동을 통한 정의는 잘 정의된 전단사이다.
• $\mathrm{LAB}^\delta(L)$ 에서 $\mathrm{Coup}(L)$ 로의 역사상 $g$ 는 단위분할과 국소적 평탄화를 사용하여 구성되며, 평탄화와 단위분할의 선택과 무관하게 일관된다.
• 이 대응은, 섬유가 $\mathfrak{g}$ 인 전이적 리 대수다발의 분류공간 $\mathcal{B}_\mathfrak{g}$ 가 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$-다발의 분류공간으로 기하학적으로 실현될 수 있음을 암시한다.
• 특성류의 범주론적 기술은 이 대응을 통해 가능해지며, Kubarski 의 이전 결과와의 비교가 가능해진다.
• 새로운 위상 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 는 이 대응을 위해 필수적이며, 표준 위상 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 는 동일한 분류를 도출하지 못한다.