[논문 리뷰] Description of limits of ranges of iterations of stochastic integral mappings of infinitely divisible distributions

Ken‐iti Sato|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 R^d 상의 무한히 분할 가능한 분포에 대한 반복적인 스토하스틱 적분 사상의 내포 범위의 극한을 특성화하며, 세 가지 커널 함수 f의 가족에 대해 극한 클래스가 완전히 자기분해 가능한 분포의 집합 L_∞ 또는 스펙트럴 측도 집중과 평균 조건으로 정의된 진부분집합이 되며, 임계 경우 α=1은 약한 평균 0의 개념이 필요하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

For infinitely divisible distributions $ρ$ on $\mathbb{R}^d$ the stochastic integral mapping $Φ_fρ$ is defined as the distribution of improper stochastic integral $\int_0^{\infty-} f(s) dX_s^{(ρ)}$, where $f(s)$ is a non-random function and $\{X_s^{(ρ)}\}$ is a Lévy process on $\mathbb{R}^d$ with distribution $ρ$ at time 1. For three families of functions $f$ with parameters, the limits of the nested sequences of the ranges of the iterations $Φ_f^n$ are shown to be some subclasses, with explicit description, of the class $L_{\infty}$ of completely selfdecomposable distributions. In the critical case of parameter 1, the notion of weak mean 0 plays an important role. Examples of $f$ with different limits of the ranges of $Φ_f^n$ are also given.

연구 동기 및 목표

• 특정 커널 함수 f의 가족에 대해 R^d 상에서 반복 스토하스틱 적분 사상 Φ_f^n의 극한 클래스를 결정하는 것.
• 이러한 반복의 점근적 행동이 f의 매개변수, 특히 임계 경우 α=1에 어떻게 의존하는지 조사하는 것.
• α=1일 때 극한 클래스를 특성화하는 데 약한 평균 0의 역할을 명확히 하는 것.
• f(s)=e^{-s}일 때 L_∞가 극한임을 알려진 결과를 f(s)의 거듭제곱 또는 로그 감쇠를 갖는 더 넓은 범주로 확장하는 것.
• f의 매개변수 α와 f의 적분 가능성 조건에 따라 완전히 자기분해 가능한 분포의 새로운 부분집합을 극한으로서 식별하는 것.

제안 방법

• Φ_f를 {X_s^(ρ)}가 시간 1에서 ρ를 갖는 레비 과정일 때 ∫₀^∞⁻ f(s) dX_s^(ρ)의 법칙으로 정의한다.
• D(Φ_f^n)이 D(Φ_f)에 대한 반복적 소속으로 정의되는 바탕으로, Φ_f^n을 재귀적으로 연구한다.
• 레비-킨친 표현을 사용하여 ID 내의 μ의 레비 측도 ν_μ를 분석하며, 특히 β ∈ (0,2)와 ξ ∈ S^{d-1}에 대한 스펙트럴 표현을 다룬다.
• 스펙트럴 농도를 사용하여 R_∞(Φ_f)를 모든 R(Φ_f^n)의 교집합으로 특성화한다: L_∞^E, E ⊆ (0,2).
• 임계 경우 α=1을 다루기 위해 약한 평균 0(레비 트리플레의 이격항이 0)의 개념을 적용한다.
• 자기분해 가능성, 안정성, 콘볼루션 닫힘 클래스의 성질을 사용하여 극한에서 포함 및 등식을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 f(s) = s^{-α} 또는 매개변수 α를 갖는 관련 함수에 대해 스토하스틱 적분 사상의 극한 클래스 R_∞(Φ_f)는 무엇인가?
• RQ2 α=1일 때 극한 클래스는 어떻게 변화하며, 이 경우 약한 평균 0 개념이 필수적인 이유는 무엇인가?
• RQ3 극한 클래스가 L_∞의 진부분집합일 수 있으며, 만약 그렇다면 f와 그 매개변수에 대해 어떤 조건에서 그러한가?
• RQ4 어떤 f의 가정에서 R_∞(Φ_f) = L_∞이고, 어떤 경우에서는 L_∞^(α,2) ∩ {μ: μ has mean 0}와 같은 더 작은 클래스가 되는가?
• RQ5 R_∞(Φ_f)가 L_∞보다 엄격히 작은 경우가 있으며, 이러한 클래스는 명시적으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• α ≤ 0 및 p ≥ 1, 또는 0 < α < 1 및 p ≥ 1일 때, 극한 클래스 R_∞(Φ_f)는 완전히 자기분해 가능한 분포의 집합인 L_∞이다.
• 1 < α < 2 및 p ≥ 1일 때, 극한 클래스는 L_∞^(α,2) ∩ {μ ∈ ID: μ has mean 0}이며, L_∞의 진부분집합이다.
• α = 1 및 q = 1일 때, 극한 클래스는 L_∞^(1,2) ∩ {μ ∈ ID: μ has weak mean zero}이며, L_∞보다 엄격히 작은 클래스이다.
• α = 1 및 q ≠ 1일 때, 극한 클래스는 완전히 특성화되지 않았으며, 이 매개변수 영역에서 열린 문제를 시사한다.
• b-자기분해 가능한 분포의 극한 클래스 L_∞(b)는 f(s) = b1_{[0,1]} + 1_{(1,2]}일 때 R_∞(Φ_f)에 포함되나, 등식은 확립되지 않았다.
• 논문은 R_∞(Φ_f)가 알려져 있지 않은 몇 가지 f에 대해 식별하며, 특히 q ∈ (0,1) ∪ (1,∞)에 대해 l_{q,1}(s), f(s) = e^{-s}1_{[0,c]}(s) 등에서 열린 연구 방향을 강조한다.