[논문 리뷰] Descriptive Proximities I: Properties and interplay between classical proximities and overlap

A. Di Concilio, C. Guadagni외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 20.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 프로브 함수를 통한 기능 기반 기술을 바탕으로 하는 시각적 형태의 근접성인 서술적 근접성에 대한 이론적 프레임워크를 제안한다. 기능 공간의 교차, 고전적 근접성, 겹침 관계 간의 상호작용을 분석함으로써 피터스 근접성보다 약한 및 강한 두 수준의 서술적 근접성을 수립하며, 이 두 형태가 자연스러운 위상수학을 유도한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

The theory of descriptive nearness is usually adopted when dealing with sets that share some common properties even when the sets are not spatially close, i.e., the sets have no members in common. Set description results from the use of probe functions to define feature vectors that describe a set and the nearness of sets is given by their proximities. A probe on a non-empty set $X$ is a real-valued function $Φ: X ightarrow \mathbb{R}^n$, where $Φ(x)= (ϕ_1(x),.., ϕ_n(x))$. We establish a connection between relations on an object space $X$ and relations on the feature space $Φ(X).$ Having as starting point the Peters proximity, two sets are \emph{descriptively near}, if and only if their descriptions intersect. In this paper, we construct a theoretical approach to a more visual form of proximity, namely, descriptive proximity, which has a broad spectrum of applications. We organize descriptive proximities on two different levels: weaker or stronger than the Peters proximity. We analyze the properties and interplay between descriptions on one side and classical proximities and overlap relations on the other side.

연구 동기 및 목표

• 기능 기반 기술을 사용하여 고전적 근접성의 일반화로써 서술적 근접성을 형식화하는 것.
• 기능 공간 내 서술적 근접성, 고전적 근접성, 겹침 관계 간의 상호작용을 조사하는 것.
• 서술적 교차를 바탕으로 피터스 근접성보다 약하거나 강한 두 가지 다른 수준의 서술적 근접성을 수립하는 것.
• 서술적 근접성 관계가 쿠라트ов스키 닫힘 연산자를 통해 자연스러운 위상수학을 유도함을 보여주는 것.
• 서술적 관계가 로다토 근접성 공리계를 만족하는 조건을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 비어 있지 않은 집합 $X$의 객체들로부터 기능 벡터를 추출하기 위해 프로브 함수 $\Phi: X \to \mathbb{R}^n$ 를 정의함으로써 기능 기반 분석을 가능하게 한다.
• 서술적 근접성의 기초로 삼을 서술적 교차 $A \mathop{\cap}\limits_{\Phi} B = \{x \in A \cup B : \Phi(x) \in \Phi(A) \cap \Phi(B)\}$ 를 도입한다.
• 교차와 기능 겹침을 바탕으로 두 가지 형태의 서술적 근접성인 $\delta_\Phi$ (약한 형태) 및 $\mathop{\delta_\Phi}\limits^{\doublewedge}$ (강한 형태) 를 구성한다.
• 집합 교차의 $\Phi$-역상을 사용하여 피터스 근접성 $\pi_\Phi$ 를 정의하고, 이를 서술적 근접성 관계와 비교한다.
• 기능 성분을 기반으로 사영과 교차를 통한 투영을 통해 $\beta_\Phi$ 와 $\eta_\Phi$ 를 서술적 관계로 정의한다.
• 확대 연산자 $e$ 가 가중치와 확장성 조건을 만족할 때, $A \mathrel{\delta_\Phi} B$ 를 $e(\Phi(A)) \cap e(\Phi(B)) \neq \emptyset$ 라 정의함으로써 겹침 접근법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능 기반 기술을 사용하여 서술적 근접성을 고전적 근접성의 일반화로 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ2 서술적 교차와 피터스 근접성과 같은 고전적 근접성 관계 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 약한 및 강한 형태의 서술적 근접성은 그 공리적 성질과 위상수학적 행동에서 어떻게 다를까?
• RQ4 겹침 기반 서술적 근접성이 로다토 근접성 공리계를 만족하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 서술적 근접성 관계가 자연스러운 위상수학을 유도할 수 있으며, 만약 그렇다면 어떻게 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• 서술적 교차 $A \mathop{\cap}\limits_{\Phi} B$ 가 비어 있지 않음은 두 집합이 서술적으로 가까울 때이고, 오직 그 때에만 성립하므로, 서술적 가까움의 핵심 기준이 된다.
• $\delta_\Phi$ 는 기능 공간 겹침을 통해 정의되며, 로다토 공리 $D_0, D_1, D_2, D_4$ 와 $D_3$ 의 한 방향을 만족하므로 유효한 서술적 로다토 근접성임을 입증한다.
• 더 강한 형태인 $\mathop{\delta_\Phi}\limits^{\doublewedge}$ 는 로다토 공리의 다섯 가지 $S_0$ 에서 $S_4$ 까지 모두 만족하므로 강력한 서술적 근접성임을 확인한다.
• $\beta_\Phi$ 가 유도하는 위상수학은 쿠라트오브스키 닫힘 연산자 $Cl_{\beta_\Phi}(A) = \bigcap_{i=1}^n \Phi_i^{-1}(\Phi_i(A))$ 로 특징지어지며, 기능별 닫힘과 집합의 닫힘을 연결한다.
• $\gamma_\Phi$ 는 $\exists i$ 를 만족하는 $\Phi_i(A) \cap \Phi_i(B) \neq \emptyset$ 라 정의되며, 이 관계는 $D_3$ 공리를 위반하므로 로다토 근접성이 아니다.
• 볼록 hull 을 확대 연산자로 사용할 경우, $A \mathrel{\delta_\Phi} B$ 는 $\text{conv}(\Phi(A)) \cap \text{conv}(\Phi(B)) \neq \emptyset$ 와 동치이며, 이는 $D_3$ 의 한 방향을 제외한 모든 조건을 만족하므로 전체 로다토 조건에 대한 부분적인 실패를 보여준다.