[논문 리뷰] Descriptive set theory and forcing; How to prove theorems about Borel sets the hard way

Arnold W. Miller|arXiv (Cornell University)|1994. 01. 06.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 73인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 포싱과 서술적 집합론을 이용하여 보렐 집합에 관한 정리를 증명하는 새로운 접근법을 제시한다. 이는 비가산 폴란드 공간에서의 보렐 계층이 정확히 ω₁의 길이를 가진다는 것을 보여주며, 가산적인 집합의 가족이 보렐 σ-대거를 생성하더라도 더 짧은 계층으로는 생성될 수 없음을 증명한다. 또한 루보의 정리와 Π₀^α 계층에 대한 보편 집합과 같은 고전적 결과에 대해 새로운 증명을 제공한다.

ABSTRACT

These are lecture notes from a course I gave at the University of Wisconsin during the Spring semester of 1993. Part 1 is concerned with Borel hierarchies. Section 13 contains an unpublished theorem of Fremlin concerning Borel hierarchies and MA. Section 14 and 15 contain new results concerning the lengths of Borel hierarchies in the Cohen and random real model. Part 2 contains standard results on the theory of Analytic sets. Section 25 contains Harrington's Theorem that it is consistent to have $Π^1_2$ sets of arbitrary cardinality. Part 3 has the usual separation theorems. Part 4 gives some applications of Gandy forcing. We reverse the usual trend and use forcing arguments instead of Baire category. In particular, Louveau's Theorem on $Π^0_α$ hyp-sets has a simpler proof using forcing.

연구 동기 및 목표

• 보렐 집합에 관한 정리를 증명하기 위한 방법을 개발하며, 연속 분수와 같은 전통적 기법을 피한다.
• 모든 비가산 폴란드 공간에서의 보렐 계층이 정확히 ω₁의 길이를 가짐을 보여준다. 이는 가산적인 가족에 의해 생성되더라도 마찬가지로 성립한다.
• 모든 Δ₀^α 집합에 대해 보편적인 보렐 집합이 존재할 수 없음을 보이며, 저자의 박사학위 논문에서 제기된 질문을 해결한다.
• 루보의 정리(Π₀^α 집합에 대해 보편 집합이 존재하지 않음)를 포싱 기법을 이용해 재증명한다.
• 포싱과 보렐 계층을 활용하여 추상적 맥락에서 레베그의 보편 집합 구성법을 일반화한다.

제안 방법

• 서술적 집합론의 기초 도구로 포싱과 루헨슈타인-스콜렘 정리를 사용한다.
• 비가산 폴란드 공간의 보편적 모델로 베르 공간 ω^ω와 칸토어 공간 2^ω를 적용한다.
• 기본 열린 집합의 트리 위에서의 재귀적 구성법을 통해 Π₀^α 계층에 대한 보편 집합을 구성한다.
• 가산 집합족 F ⊆ P(X) 위에서 보편적인 보렐 계층을 정의함으로써 고전적인 보렐 계층을 일반화한다.
• 보렐 연산에 대한 닫힘을 보이기 위해 대각선 집합 D = {x : (x,x) ∈ A} 위에서 대각선화 기법을 적용한다.
• Borel(2^ω) ⊆ Borel(H)이면 ord(H) = ω₁임을 보이며, 보편 집합과 사영 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포싱 기법을 사용하여 비가산 폴란드 공간에서의 보렐 계층이 정확히 ω₁의 길이를 가짐을 보일 수 있는가?
• RQ2 폴란드 공간에서 모든 Δ₀^α 집합에 대해 보편적인 보렐 집합이 존재하는가?
• RQ3 루보의 정리(Π₀^α 집합에 대해 보편 집합이 존재하지 않음)를 포싱 기법을 이용해 재증명할 수 있는가?
• RQ4 폴란드 공간에서 가산적인 집합의 가족이 생성하는 보렐 계층의 최소 길이는 얼마인가?
• RQ5 보편 집합과 사영 기법을 사용하여 추상적인 집합 가족에서의 보렐 계층이 사영과 교차에 대해 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 모든 비가산 폴란드 공간에서의 보렐 계층은 정확히 ω₁의 길이를 가지며, 이는 가산적인 가족에 의해 생성되더라도 마찬가지로 성립한다.
• 루보의 정리의 추론 LABEL:univdel에 의해, 어떤 보렐 집합도 Δ₀^α 집합에 대해 보편적이 될 수 없다.
• 공간에 완전 집합이 포함되어 있다면, 임의의 가산 집합족 H에 대해 Π₀^α 계층에 대한 보편 집합이 존재한다.
• Borel(2^ω) ⊆ Borel(H)라는 가정 하에, A가 곱공간에서 보렐이면 대각선 집합 D = {x : (x,x) ∈ A} 역시 보렐이다.
• 이 논문에서 제시된 루보의 정리 증명은 고전적 증명과 다름을 이요하며, 포싱과 보편 집합에 의존한다.
• 공간에 완전 집합이 포함되어 있다면, 임의의 가산 집합족 F가 보렐 집합을 생성하는 경우, ord(F) = ω₁임을 증명한다.