[논문 리뷰] Design and Implementation of the Andromeda Proof Assistant

Andrej Bauer, Gaëtan Gilbert외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 17.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

Andromeda는 유형 이론적 추론 규칙을 강제하기 위해 최소한의 신뢰할 수 있는 핵심을 사용하는 LCF 스타일의 증명 보조 도구이다. 이 시스템은 등가성 검사와 같은 복잡한 작업을 유저 정의 코드로 위임하며, 대신에 대수적 효과와 핸들러를 갖춘 메타언어(AML)를 사용한다. 이 시스템은 등가성 반영을 갖춘 표현력 있는 유형 이론—강한 정규화와 결정 가능성을 잃더라도—사용자 수준의 확장성을 통해 실용적으로 지원될 수 있음을 보여준다. 이는 민감하고 맞춤형으로 조정 가능한 증명 개발을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Andromeda is an LCF-style proof assistant where the user builds derivable judgments by writing code in a meta-level programming language AML. The only trusted component of Andromeda is a minimalist nucleus (an implementation of the inference rules of an object-level type theory), which controls construction and decomposition of type-theoretic judgments. Since the nucleus does not perform complex tasks like equality checking beyond syntactic equality, this responsibility is delegated to the user, who implements one or more equality checking procedures in the meta-language. The AML interpreter requests witnesses of equality from user code using the mechanism of algebraic operations and handlers. Dynamic checks in the nucleus guarantee that no invalid object-level derivations can be constructed. %even if the AML code (or interpreter) is untrusted. To demonstrate the flexibility of this system structure, we implemented a nucleus consisting of dependent type theory with equality reflection. Equality reflection provides a very high level of expressiveness, as it allows the user to add new judgmental equalities, but it also destroys desirable meta-theoretic properties of type theory (such as decidability and strong normalization). The power of effects and handlers in AML is demonstrated by a standard library that provides default algorithms for equality checking, computation of normal forms, and implicit argument filling. Users can extend these new algorithms by providing local "hints" or by completely replacing these algorithms for particular developments. We demonstrate the resulting system by showing how to axiomatize and compute with natural numbers, by axiomatizing the untyped $λ$-calculus, and by implementing a simple automated system for managing a universe of types.

연구 동기 및 목표

• 결정 가능성과 강한 정규화와 같은 표준적인 메타이론적 성질을 상실하는 표현력 있는 유형 이론, 예를 들어 등가성 반영을 갖춘 종속 유형 이론을 지원하는 증명 보조 도구를 설계하는 것.
• 등가성 검사나 정규화와 같은 복잡한 추론을 핵심 추론 엔진 외부로 격리함으로써 신뢰할 수 있는 코드 기반을 최소화하는 것.
• 대수적 효과와 핸들러를 갖춘 고수준의 메타언어를 통해 사용자가 증명 자동화(예: 정규화, 암시적 인자 채우기)를 구현, 오버라이드 또는 확장할 수 있도록 하는 것.
• 사용자 수준의 코드가 신뢰할 수 있는 핵심 내 동적 검사를 통해 타당한 추론을 유지하면서도 복잡한 유형 이론적 연산을 안전하고도 영리하게 관리할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 시스템은 기본적인 유형 이론적 추론 규칙과 역전 원칙만을 강제하는 최소한의 신뢰할 수 있는 핵심을 사용하며, 동적 검사를 통해 타당성을 보장한다.
• 사용자 수준의 유도는 ML 기반의 대수적 연산과 핸들러를 갖춘 메타언어인 AML을 통해 구성되며, 판단 생성에 대한 확장 가능한 제어를 가능하게 한다.
• 등가성 검사와 정규화는 사용자 코드로 위임되며, 판단 생성 과정에서 불일치가 발생할 경우 대수적 연산을 통해 호출된다.
• AML의 핸들러를 통해 사용자는 등가성 증거, 정규형, 암시적 인자 요청을 가로채고 응답할 수 있으며, 이는 국소적 또는 전역적 알고리즘 오버라이드를 가능하게 한다.
• 핵심은 복잡한 추론을 수행하지 않으며, 대신 모든 요청을 동적 검사를 통해 검증함으로써 잘못된 추론이 생성될 수 없도록 보장한다.
• 사용자가 AML 유형 체계를 수정함으로써 Tarski 스타일의 유니버스나 심지어 Type : Type까지 포함한 고유의 유니버스 구조를 정의할 수 있도록 하여 확장성을 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정 가능성과 강한 정규화와 같은 표준적인 메타이론적 성질을 상실하는 표현력 있는 유형 이론을 지원하는 증명 보조 도구를 최소한의 신뢰할 수 있는 코어로 설계할 수 있는가?
• RQ2 신뢰할 수 있는 핵심의 타당성을 해치지 않으면서 등가성 검사와 정규화를 사용자 수준의 코드로 안전하게 위임할 수 있는가?
• RQ3 메타언어에서의 효과와 핸들러를 통해 증명 자동화의 모듈성, 조합 가능성, 확장성을 얼마나 높일 수 있는가?
• RQ4 중첩된 핸들러를 사용하여 사용자가 정의한 타입 체킹 및 정규화 알고리즘을 효과적으로 오버라이드하거나 확장할 수 있는가?
• RQ5 신뢰할 수 있는 코어를 손상시키지 않으면서도, 비표준적이거나 일관성이 없는 유니버스 구조(예: Type : Type)를 포함한 민감한 유니버스 구성 방식을 어떻게 지원할 수 있는가?

주요 결과

• Andromeda 시스템은 등가성 반영을 갖춘 종속 유형 이론 기반의 증명 보조 도구를 성공적으로 구현하였으며, 이 이론은 결정 가능성과 강한 정규화를 상실하지만 여전히 실용적으로 사용 가능하다는 것을 보여준다.
• 대수적 효과와 핸들러를 통해 복잡한 추론을 사용자 코드로 위임함으로써, 시스템은 강력한 맞춤형 증명 자동화를 가능하게 하면서도 최소한의 신뢰할 수 있는 코어를 유지한다.
• 핵심 내 동적 검사를 통해 사용자가 제공한 등가성 검사기나 정규화 절차가 잘못되거나 불완전하더라도 잘못된 추론이 생성될 수 없음을 보장한다.
• 사용자는 등가성 검사, 정규화, 암시적 인자 채우기의 기본 알고리즘을 로컬 힌트나 완전한 재구현을 통해 교체하거나 확장할 수 있으며, 이는 유형 이론 계산에 대한 세밀한 제어를 가능하게 한다.
• 이 설계는 향후 확장성도 지원하며, Type : Type의 제거나 사용자 정의 유니버스 구조의 정의, 심지어 등가성 반영을 사용자 정의로 만들 수 있는 능력까지 포함한다.
• 논문은 시스템이 자연수, 무형의 λ-계산, 그리고 유형의 유니버스를 공리화할 수 있음을 보여주며, 기반 이론의 비표준 성질에도 불구하고 실용적인 적용 가능성을 입증한다.