[논문 리뷰] Desingularization of complex multiple zeta-functions, fundamentals of $p$-adic multiple $L$-functions, and evaluation of their special values

Hidekazu Furusho, Yasushi Komori외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 16.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소 다중 리만 제타함수의 비특이화를 제안하여 선형 조합을 통한 이동된 제타함수로 전체 함수로 만들고, $p$-진 측도를 이용해 $p$-진 다중 $L$-함수를 구성한다. 주요 결과로는 비정상적인 정수에서의 $p$-진 다중 $L$-함수의 특별한 값 평가가 비틀린 다중 베르누이 수를 통해 명시적으로 이루어지고, 양의 정수에서는 $p$-진 비틀린 다중 다이로그함수를 통해 이루어지며, 다중 쿠바타-쿠머 합동식과 부호 조건이 있는 함수적 관계를 확립한다.

ABSTRACT

This paper deals with a multiple version of zeta- and L-functions both in the complex case and in the p-adic case: [I] Our motivation in the complex case is to find suitable rigorous meaning of the values of multivariable multiple zeta-functions (MZFs) at non-positive integer points. (a) We reveal that MZFs turn to be entire on the whole space after taking the desingularization. Further we show that the desingularized function is given by a suitable finite linear combination of MZFs with some arguments shifted. It is also shown that specific combinations of Bernoulli numbers attain the special values at their non-positive integers of the desingularized ones. (b) Twisted MZFs can be continued to entire functions and their special values at non-positive integer points can be explicitly calculated. [II] Our work in the p-adic case is to develop the study on analytic side of the Kubota-Leopoldt p-adic L-functions (pLFs) into the multiple setting. We construct p-adic multiple L-functions (pMLFs), multivariable versions of their pLFs, by using a specific p-adic measure. We establish their various fundamental properties: (a) We establish their intimate connection with the above complex MZFs by showing that the special values of pMLFs at non-positive integers are expressed by the twisted multiple Bernoulli numbers, the special values of the complex MZFs at non-positive integers. (b) We extend Kummer congruence for Bernoulli numbers to congruences for the twisted multiple Bernoulli numbers. (c) We extend the vanishing property of the Kubota-Leopoldt pLFs with odd characters to our pMLFs. (d) We establish their close relationship with the p-adic twisted multiple polylogarithms (pTMPLs) by showing that the special values of pMLFs at positive integers are described by those of pTMPLs at roots of unity, which generalizes the previous result of Coleman in the single variable case.

연구 동기 및 목표

• 비정상적인 정수에서의 복소 다중 제타함수의 부정확성을 제거하기 위해 비특이화 과정을 도입한다.
• 특정 $p$-진 측도를 통해 쿠바타-레오폴트 $p$-진 $L$-함수 이론을 다변수 설정으로 확장한다.
• 비정상적인 정수와 양의 정수에서의 $p$-진 다중 $L$-함수의 특별한 값 평가를 명시적으로 확립한다.
• 쿠머 합동식과 함수적 관계를 다중 $p$-진 $L$-함수 설정으로 일반화한다.
• $p$-진 다중 $L$-함수와 $p$-진 비틀린 다중 다이로그함수 간의 연결 고리를 루트 오브 유니티에서 확립한다.

제안 방법

• 특정 이동된 제타함수의 유한 선형 조합으로 일반화된 오일러-자지에 다중 제타함수의 비특이화를 정의하여 특이점을 제거한다.
• 특정 $p$-진 측도를 사용하여 $p$-진 다중 $L$-함수를 구성하고, 해석적 계속성과 메로모르피를 보장한다.
• 비정상적인 정수에서의 $p$-진 다중 $L$-함수 값과 비틀린 다중 베르누이 수 사이의 연결 고리를 확립한다.
• $p$-진 보간을 통해 비틀린 다중 베르누이 수에 대한 다중 쿠머 합동식을 유도한다.
• 부호 조건이 있는 함수적 관계를 증명하여 기존의 홀수 특성 $p$-진 $L$-함수의 0값 성질을 일반화한다.
• 양의 정수에서의 $p$-진 다중 $L$-함수 특별한 값이 루트 오브 유니티에서 평가된 $p$-진 비틀린 다중 다이로그함수의 선형 조합으로 기술됨을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상적인 정수에서의 복소 다중 제타함수 값은 특이성에도 불구하고 어떻게 엄밀하게 정의될 수 있는가?
• RQ2 $p$-진 다중 $L$-함수의 구조는 무엇이며, 고전적 $p$-진 $L$-함수로 어떻게 일반화되는가?
• RQ3 $p$-진 다중 $L$-함수의 비정상적인 정수에서의 특별한 값은 비틀린 다중 베르누이 수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 쿠머 합동식은 다중 $p$-진 $L$-함수 설정으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 $p$-진 다중 $L$-함수와 $p$-진 비틀린 다중 다이로그함수 간의 관계는 루트 오브 유니티에서 어떻게 되는가?

주요 결과

• 비특이화된 다중 제타함수는 이동된 제타함수의 유한 선형 조합을 통해 $\mathbb{C}^r$ 위에서 전체 함수가 된다.
• 비정상적인 정수에서의 비특이화된 제타함수의 특별한 값은 베르누이 수의 특정 조합으로 명시적으로 주어진다.
• 비틀린 다중 제타함수는 전체 함수이며, 비정상적인 정수에서의 특별한 값은 명시적으로 계산 가능하다.
• 비정상적인 정수에서의 $p$-진 다중 $L$-함수의 특별한 값은 비틀린 다중 베르누이 수와 비특이화된 복소 제타함수의 특별한 값으로 표현된다.
• 비틀린 다중 베르누이 수에 대한 다중 쿠머 합동식이 확립되었으며, 고전적 쿠머 합동식을 일반화한다.
• 양의 정수에서의 $p$-진 다중 $L$-함수의 특별한 값은 루트 오브 유니티에서 평가된 $p$-진 비틀린 다중 다이로그함수의 선형 조합으로 기술되며, 단일 변수 케이스에서 콜먼의 결과를 일반화한다.