[논문 리뷰] Desingularization of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type and evaluation of p-adic multiple L-functions at arbitrary integers

Hidekazu Furusho, Yasushi Komori외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 18.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 허비츠-레르히 타입의 다중 제타함수에 대한 탈특이화 방법을 제안하며, 이로 인해 특이점을 제거하여 일반적인 다중 제타함수의 유한 합으로 표현할 수 있는 정칙 함수를 얻는다. 또한 p-진 다중 L-함수를 임의의 정수 인자로 확장하기 위해 p-진 다중 스타 다중 로그함수를 사용하며, 쿠바타-레오폴트와 콜먼의 고전적 공식을 일반화한다.

ABSTRACT

We study analytic properties of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type. First, as a special type of them, we consider multiple zeta-functions of generalized Euler-Zagier-Lerch type and investigate their analytic properties which were already announced in our previous paper. Next we give `desingularization' of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type, which include those of generalized Euler-Zagier-Lerch type, the Mordell-Tornheim type, and so on. As a result, the desingularized multiple zeta-function turns out to be an entire function and can be expressed as a finite sum of ordinary multiple zeta-functions of the same type. As applications, we explicitly compute special values of desingularized double zeta-functions of Euler-Zagier type. We also extend our previous results concerning a relationship between $p$-adic multiple $L$-functions and $p$-adic multiple star polylogarithms to more general indices with arbitrary (not necessarily all positive) integers.

연구 동기 및 목표

• 오일러-자지에르-레르히 유형을 초월하여 더 넓은 범주인 일반화된 허비츠-레르히 유형으로 다중 제타함수의 탈특이화 프레임워크를 확장하기 위해.
• 이 제타함수의 모든 특이점을 제거하여, 동일한 유형의 일반적인 다중 제타함수의 유한 선형 조합으로 표현되는 정칙 함수를 얻기 위해.
• 양의 정수에 국한되지 않고 임의의 정수 인덱스로도 일반화된 p-진 다중 L-함수와 p-진 다중 스타 다중 로그함수 간의 관계를 일반화하기 위해.
• 비틀린 다중 베르누이 수를 사용하여 탈특이화된 이중 제타함수의 특수값을 계산하기 위해.
• 모든 정수에서 다중 L-함수에 대한 p-진 보간 공식을 수립하여 쿠바타-레오폴트 및 콜먼 형식의 공식을 통합하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 허비츠-레르히 제타함수의 유리형 계속성과 특이점의 위치를 분석하기 위해 멜린-바른스 적분 표현을 사용하기 위해.
• 특이점에서의 극 부분을 빼어 정칙 함수로 구성된 탈특이화된 제타함수를 구축하기 위해.
• 조합적 잔여치 빼기 방법을 통해 동일한 유형의 일반적인 다중 제타함수의 유한 합으로 탈특이화된 제타함수를 표현하기 위해.
• 근의 단위와 p제곱근의 단위를 포함하는 생성함수를 사용하여 p-진 다중 스타 다중 로그함수를 정의하기 위해.
• 비틀린 다중 베르누이 수의 생성함수를 적용하여 탈특이화된 제타함수의 특수값을 평가하기 위해.
• p-진 다중 스타 다중 로그함수의 생성함수와 비틀린 베르누이 수의 생성함수를 일치시켜 p-진 보간 공식을 수립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 허비츠-레르히 유형의 다중 제타함수의 특이점은 어떻게系통적으로 제거되어 정칙 함수로 이어질 수 있는가?
• RQ2 탈특이화된 다중 제타함수의 명시적 구조는 동일한 유형의 일반적인 다중 제타함수로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 p-진 다중 스타 다중 로그함수를 사용하여 p-진 다중 L-함수를 임의의 정수(항상 양의 정수는 아님)에서 어떻게 평가할 수 있는가?
• RQ4 탈특이화된 이중 제타함수의 특수값과 비틀린 다중 베르누이 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 고전적인 쿠바타-레오폴트 및 콜먼 공식은 다중 제타함수 및 L-함수의 임의의 정수 인자로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 허비츠-레르히 유형의 탈특이화된 다중 제타함수는 정칙 함수이며, 동일한 유형의 일반적인 다중 제타함수의 유한 합으로 표현될 수 있다.
• 오일러-자지에르 유형의 이중 제타함수의 임의의 정수에서의 특수값은 비틀린 다중 베르누이 수를 사용하여 명시적으로 계산된다.
• 음수에서의 p-진 다중 스타 다중 로그함수는 특정한 비틀린 다중 베르누이 수와 일치함이 입증된다.
• p-진 다중 L-함수의 임의의 정수에서의 평가는 근의 단위와 비틀린 베르누이 수를 포함하는 합의 공식으로 주어진다.
• 음수에서의 p-진 다중 L-함수에 대한 공식은 쿠바타-레오폴트 공식과 콜먼 공식을 모두 일반화한다.
• 비틀린 다중 베르누이 수의 생성함수와 p-진 다중 로그함수를 기반으로 모든 정수에서 다중 L-함수에 대한 p-진 보간 공식이 유도된다.