[논문 리뷰] Desingularization of vortex rings in 3 dimensional Euler flows: with swirl

Daomin Cao, Jie Wan외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 01.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 변분 방법을 통해 3차원 축대칭 올레르 유체에서 스위르를 가진 안정된 소용돌이 링의 이중 매개변수 가중 가족을 구성하며, 고전적 원형 소용돌이 필라멘트의 정규화를 달성한다. 주요 결과는 정규화 매개변수 β → 0⁺일 때, 소용돌이 강도의 지지부가 반지름 r* = 1/(4πW)인 원으로 수렴하며, 에너지와 라그랑주 승수는 1/β에 대해 상용로그 스케일링을 보이며, 극한 소용돌이 강도 분포는 약한 L² 위상에서 반경 방향으로 감소하는 성질을 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

We study desingularization of steady vortex rings in three-dimensional axisymmetric incompressible Euler fluids with swirl. Using the variational method, we construct a two-parameter family of steady vortex rings, which constitute a desingularization of the classical circular vortex filament, in several kinds of domains. The precise localization of the asymptotic singular vortex filament is shown to depend on the circulation and the velocity at far fields of the vortex ring and the geometry of the domains. We also discuss other qualitative and asymptotic properties of these vortices.

연구 동기 및 목표

• 3차원 축대칭 비압축성 올레르 유체에서 스위르를 가진 정규화된 안정 소용돌이 링 해를 구성하는 것.
• 터킹턴의 방법과는 다름없는 새로운 변분 접근법을 개발하여 외부 영역에서의 컴 pact성 문제를 해결하는 것.
• 순환량, 원거리 유속, 영역 기하학을 바탕으로 특이 소용돌이 필라멘트의 점점 수렴하는 위치를 정밀하게 특성화하는 것.
• 소용돌이 강도 가족 {ζβ}의 약한 극한이 L²에서 반경 방향으로 감소하는 함수임을 확립하는 것.

제안 방법

• 자세한 각도 성분 소용돌이 강도 ζ = ω^θ / r를 사용하여 문제를 수립하고, 스트림 함수 ψ에 대한 비선형 타원형 방정식(Bragg-Hawthorne/Long-Squire 방정식)을 유도한다.
• 운동 에너지, 스위르에 기인한 잠재 에너지, 소용돌이 강도 집중을 방지하기 위한 벌점 항을 포함하는 정규화된 에너지 함수 Eβ(ζ)를 도입한다.
• 고정된 총 순환량을 가지며, L∞(D) 내에서 대칭적이고 컴act하게 지지된 함수 위에서 제약 조건이 있는 변분 프레임워크를 사용한다.
• Steiner 대칭화를 통해 최소화자의 반경 대칭성을 확보하고, 컴팩턴스 및 하한 연속성에 의해 최대화자 ζβ의 존재를 증명한다.
• 라그랑주 승수 이론을 적용하여, ζβ와 스트림 함수 ψβ, 승수 μβ 사이의 오일러-라그랑주 방정식을 유도한다.
• β → 0⁺일 때의 점점 수렴 행동을 분석하여, W와 r* = 1/(4πW)에 따라 에너지와 승수의 상용로그 스케일링을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 올레르 유체에서 비영 순환량과 원거리 유속을 가진 스위르를 가진 이중 매개변수 가족의 정규화된 소용돌이 링을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 β → 0⁺일 때 특이 소용돌이 필라멘트의 점점 수렴하는 위치는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 정규화 과정에서 에너지와 라그랑주 승수는 정규화 매개변수 β에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 β → 0⁺일 때 소용돌이 강도 가족 {gβ}의 약한 극한은 무엇이며, 어떤 대칭 성질을 가진다?

주요 결과

• β → 0⁺일 때, 에너지 Eβ(ζβ)는 (r*/(4π) - W r*²/2) log(1/β) + O(1)로 스케일링되며, 여기서 r* = 1/(4πW).
• 라그랑주 승수 μβ는 (r*/(2π) - W r*²/2) log(1/β) + O(1)로 스케일링되며, 여기서 r* = 1/(4πW).
• 소용돌이 강도 지지부의 지름은 충분히 작은 모든 β에 대해 R₁β 이하이며, 어떤 R₁ > 1이 존재한다.
• ζβ의 지지부에서 원 Cr*까지의 점점 수렴 거리는 β → 0⁺일 때 0으로 수렴한다.
• L²에서 {gβ}의 모든 약한 극한점은 반경 방향으로 감소하는 함수이다.
• 소용돌이 강도 프로파일 ζβ는 Steiner 대칭화에 대해 대칭이며, 반지름 r*인 원에 집중된 특이 극한으로 수렴한다.