[논문 리뷰] Desingularization of vortices for 2D steady Euler flows via the vorticity method

Daomin Cao, Guodong Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 09.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 40인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 vorticity 방법을 통해 도메인의 Robin 함수 또는 Kirchhoff-Routh 함수의 임계점 근처에서 작은 영역에 집중된 비행동성의 2차원 정 steady Euler 흐름을 구성한다. 비행동성의 중심이 수축함에 따라 프로파일 함수로 수렴하는 것을 보이며, 에너지와 순환은 점 비행동성 모델과 渐近적으로 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider steady Euler flows in a planar bounded domain in which the vorticity is sharply concentrated in a finite number of disjoint regions of small diameter. Such flows are closely related to the point vortex model and can be regarded as desingularization of point vortices. By an adaption of the vorticity method, we construct a family of steady Euler flows in which the vorticity is concentrated near a global minimum point of the Robin function of the domain, and the corresponding stream function satisfies a semilinear elliptic equation with a given profile function. Furthermore, for any given isolated minimum point $(\bar{x}_1,\cdot\cdot\cdot,\bar{x}_k)$ of the Kirchhoff-Routh function of the domain, we prove that there exists a family of steady Euler flows whose vorticity is supported in $k$ small regions near $\bar{x}_i$, and near each $\bar{x}_i$ the corresponding stream function satisfies a semilinear elliptic equation with a given profile function.

연구 동기 및 목표

• 점 비행동성의 desingularization이 되는, 비행동성이 작은 영역에 날카롭게 집중된 정 steady Euler 흐름을 구성하는 것.
• 비행동성 중심 크기가 0으로 수렴할 때 이러한 흐름의 극한 행동을 분석하는 것.
• Kirchhoff-Routh 함수의 고립된 최소점 근처에 비행동성이 집중된 정 steady 해의 존재성을 확립하는 것.
• 비행동성 크기가 0으로 수축하는 극한에서 스트림 함수와 비행동성의 점근적 프로파일을 특성화하는 것.
• desingularized 비행동성의 에너지 및 순환을 고전적 점 비행동성 모델과 엄밀하게 연결하는 것.

제안 방법

• 지정된 점 주변의 작은 구 내에서 컴팩트 지지 비행동성을 가진 해를 구성하기 위해 vorticity 방법을 응용한다.
• 비행동성 중심 크기 $ \varepsilon \to 0 $ 의 극한을 분석하기 위해 스케일링된 스트림 함수 $ \Psi_i^\varepsilon(y) = \psi_i^\varepsilon(x_i^\varepsilon + \varepsilon y) $ 를 사용한다.
• 스케일링된 도메인에서 반선형 타원형 방정식 $ -\Delta \Psi_i^\varepsilon = f_i(\Psi_i^\varepsilon) \chi_{B_{r_0}(\bar{x}_i)} + \text{하위항} $ 을 푸는다.
• 순환 강도를 일치시키기 위해 $ \int_{D_i^\varepsilon} f_i(\Psi_i^\varepsilon) dx = |\kappa_i| $ 의 제약 조건을 도입한다.
• 비행동성 프로파일이 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 $ L^\infty(\mathbb{R}^2) $ 에서 $ f_i(U^{|\kappa_i|}) $ 로 약한* 수렴함을 증명한다.
• 에너지의 점근적 전개 $ \mathcal{E}(\omega^\varepsilon) = \sum_{i=1}^k \frac{\kappa_i^2}{4\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} + O(1) $ 를 활용하여 특이 행동을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도메인의 Robin 함수의 전역 최소점 근처에서 비행동성이 집중된 정 steady 2D Euler 흐름을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비행동성 중심 크기가 0으로 수렴할 때, 이러한 해의 스트림 함수는 주어진 프로파일 함수를 가진 반선형 타원형 방정식을 만족하는가?
• RQ3 Kirchhoff-Routh 함수의 주어진 고립된 최소점들에 대해, 각 점 주변에 비행동성이 집중된 정 steady Euler 흐름의 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ4 비행동성 중심 크기가 0으로 수축할 때, 이러한 desingularized 비행동성의 에너지 및 순환의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ5 극한 비행동성 프로파일은 고정 질량 $ |\kappa_i| $ 를 가진 타원형 방정식 $ -\Delta U^{|\kappa_i|} = f_i(U^{|\kappa_i|}) $ 의 반지름 해와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• Robin 함수의 전역 최소점 근처에 비행동성이 집중된 정 steady Euler 흐름의 가족이 구성되었으며, 주어진 프로파일을 가진 스트림 함수에 대한 반선형 타원형 방정식을 만족한다.
• Kirchhoff-Routh 함수의 각 고립된 최소점 $ \bar{x}_i $ 에 대해, $ \bar{x}_i $ 주변의 작은 구에서 비행동성이 지지되는 정 steady Euler 흐름이 존재하며, 이에 대응하는 스트림 함수는 동일한 프로파일 방정식을 만족한다.
• 스케일링된 스트림 함수 $ \Psi_i^\varepsilon $ 는 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 $ \mathbb{R}^2 $ 에서 국소적으로 $ C^{1,\alpha} $ 수렴하여 극한 타원형 문제의 반지름 해 $ U^{|\kappa_i|} $ 를 얻는다.
• 비행동성 프로파일 $ \zeta_i^\varepsilon $ 는 $ L^\infty(\mathbb{R}^2) $ 에서 약한* 수렴하여 $ f_i(U^{|\kappa_i|}) $ 로 수렴함을 확인하여, 극한에서의 프로파일 구조를 확인한다.
• 흐름의 에너지는 $ \mathcal{E}(\omega^\varepsilon) = \sum_{i=1}^k \frac{\kappa_i^2}{4\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} + O(1) $ 를 만족하며, 점 비행동성 모델의 로그 특이성과 일치함을 보였다.
• 순환 $ \mu_i^\varepsilon = \frac{|\kappa_i|}{2\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} + O(1) $ 는 특이 극한에서 고전적 점 비행동성 역학과 일관됨을 확인하였다.