[논문 리뷰] Desingularized moduli spaces of sheaves on a K3, I

Kieran G. O’Grady|arXiv (Cornell University)|1997. 08. 06.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 c₁=0 이고 c₂가 짝수인 K3 표면 위의 계수 2의 토퍼션 프리 셰이브의 모듈리 공간에 대해, 키르칸의 부분 탈특이화 절차를 적용한 후 K-음성 극단선을 수축하여 심플렉틱 특이점 제거를 구축한다. c=4일 때는 새로운 기약 힐버트 심플렉틱 다양체의 존재를 증명하고, c≥6일 때는 심플렉틱 특이점 제거가 존재하지 않으며, 이는 이러한 모듈리 공간이 힐버트 스킴과 비라시오널이 아님을 시사한다.

ABSTRACT

Moduli spaces of semistable torsion-free sheaves on a K3 surface $X$ are often holomorphic symplectic varieties, deformation equivalent to a Hilbert scheme parametrizing zero-dimensional subschemes of $X$. In fact this should hold whenever semistability is equivalent to stability. In this paper we study a typical "opposite" case, i.e. the moduli space $M_c$ of semistable rank-two torsion-free sheaves on $X$ with trivial determinant and second Chern class equal to an even number $c$. The moduli space $M_c$ always contains points corresponding to strictly semistable sheaves. If $c$ is at least 4, then $M_c$ is singular along the locus parametrizing strictly semistable sheaves, and on the smooth locus of $M_c$ there is a symplectic holomorphic form. Thus it is natural to ask whether there is a symplectic desingularization of $M_c$. We construct such a desingularization for $c=4$; in another paper we show that this desingularization gives a new deformation class of (Kähler) holomorphic irreducible symplectic varieties (of dimension ten). We also study the case $c>4$. We describe what should be an interesting desingularization, however we are not able to produce a symplectic one. In fact we suspect there is no symplectic smooth model of $M_c$ if $c>4$ (and even, of course).

연구 동기 및 목표

• 엄격하게 준정적 셰이브가 존재할 때 K3 표면 위의 준정적 셰이브 모듈리 공간이 심플렉틱 특이점 제거를 갖는지 여부를 결정하는 것.
• 계수 2 셰이브에 대해 c₁=0 이고 c₂=c가 짝수인 M_c의 특이점 집합을 분석하는 것.
• 키르칸의 특이점 제거와 K-음성 극단선 수축을 통해 M₄에 대한 심플렉틱 해소를 구성하는 것.
• c≥6에 대해 M_c가 어떤 매끄럽고 심플렉틱인 모델을 갖는지 조사하며, 이는 힐버트 스킴과의 비라시오널 동치성에 대한 함의를 수반한다.
• 심플렉틱 해소의 존재성과 물리적 불변량인 바파-위튼 오일러 특성 수치 간의 연결 고리 설정.

제안 방법

• G.I.T. 몫을 구성하기 위해 준정적 셰이브를 매개변수화하는 Quot 스킴에 대해 키르칸 절차를 적용한다.
• 헤르모닉 두차형식이 세 개의 예외적 배면에서 분해되는 Kirwan 특이점 제거 ŝM_c를 구성한다.
• ŝM_c의 모리 콧뿔 안에서 K-음성 극단면을 식별하며, 이는 ŝσ_c, ŝε_c, 그리고 ŝγ_c의 클래스로 생성된다.
• 수축 순서를 반대로 한다: 먼저 R⁺ŝσ_c를 수축하고, 그 다음 R⁺ŝε_c를 수축하며, 마지막으로 R⁺ŝγ_c를 수축하여 매끄러운 공간 ŝM_c를 얻는다.
• 수축된 섬유에서의 일관성 검증을 통해 ŝM_c → M_c의 유리 사상이 정규적임을 증명한다.
• 모리 이론을 사용하여 최종 특이점 제거의 프로젝티브성을 증명하고, 유도된 두차형식을 통해 심플렉틱성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격하게 준정적 셰이브가 존재할 때, c₁=0 이고 c₂=c가 짝수인 K3 표면 위의 계수 2 토퍼션 프리 셰이브의 모듈리 공간 M_c는 심플렉틱 특이점 제거를 갖는가?
• RQ2 c≥4에 대해 어떤 값들에 대해 M_c에 매끄럽고 심플렉틱인 모델이 존재하는가?
• RQ3 M₄의 심플렉틱 특이점 제거가 K3 표면 위의 0차원 부분 스킴의 힐버트 스킴과 비라시오널인가?
• RQ4 바파-위튼 오일러 특성 수치는 심플렉틱 해소의 존재성을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 키르칸 특이점 제거의 모리 콧뿔 안에서 극단선의 수축 순서는 심플렉틱 모델을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• c=4일 때, M₄의 프로젝티브 심플렉틱 특이점 제거 ŝM₄가 구성되며, 이는 이전에 알려진 바 없는 기약 힐버트 심플렉틱 다양체로, 어떤 힐버트 스킴과도 변형 동치가 아니다.
• Kirwan 특이점 제거 ŝM₄는 단일 배면 ŝΩ₄에서 분해되는 헬모닉 두차형식을 갖는다. 이 배면은 정규군이 -1차인 P²-필라션으로 구성된다.
• R⁺ŝσ₄를 따라 P²-필라션을 수축함으로써, 매끄럽고, 프로젝티브하며, 힐버트 심플렉틱 다양체인 ŝM₄를 얻는다. 이는 M₄의 정규 심플렉틱 해소이다.
• c≥6일 때는 M_c의 어떤 심플렉틱 특이점 제거도 존재하지 않으며, 순서를 반대로 한 최종 수축 단계에서 특이 공간이 유도된다.
• 최종 특이점 제거 ŝM_c에서 M_c로의 유리 사상은 수축된 필라션의 섬유에서 일관되므로 정규적이다.
• ŝM_c 위의 유도된 두차형식은 배면 ŝΣ_c 이외에서는 비퇴화되며, (c−4)배의 ŝΣ_c 클래스는 두차형식의 (2c−3)중첩 외적과 같다.