[논문 리뷰] Detecting the local indistinguishability of maximally entangled states

Sixia Yu, C. H. Oh|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 04.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 23인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 비대칭성과 HSSH 방법을 조합하여 $d\otimes d$ 시스템에서 최대 얽힘 상태(MES)의 국소적 구별 불가능성에 대한 계산 가능한 기준을 제안한다. 모든 $d \geq 4$에 대해 완전한 $d$개의 국소적으로 구별 불가능한 MES 집합을 구성하였으며, $d \geq 6$인 짝수 $d$에 대해 $k = d-1$개의 MES 집합이 분리 측정으로도 구별 불가능함을 입증하였다. 이때 비율 $k/d$는 큰 $d$의 근처에서 $3/4$에 수렴한다.

ABSTRACT

By incorporating the asymmetry of local protocols, i.e., some party has to start with a nontrivial measurement, into an operational method of detecting the local indistinguishability proposed by Horodecki {\it et al.} [Phys.Rev.Lett. 90 047902 (2003)], we derive a computable criterion to efficiently detect the local indistinguishability of maximally entangled states. Locally indistinguishable sets of $d$ maximally entangled states in a $d\otimes d$ system are systematically constructed for all $d\ge 4$ as an application. Furthermore, by exploiting the fact that local protocols are necessarily separable, we explicitly construct small sets of $k$ locally indistinguishable maximally entangled states with the ratio $k/d$ approaching 3/4. In particular, in a $d\otimes d$ system with even $d\ge 6$, there always exist $d-1$ maximally entangled states that are locally indistinguishable by separable measurements.

연구 동기 및 목표

• 오직 국소적 조작과 고전적 통신(LOCC)을 사용할 때, 정규직교 최대 얽힘 상태 집합이 정확히 구별 가능한지 여부를 판단하는 기본적인 과제를 다루는 것.
• 모든 가능한 LOCC 프로토콜을 배제해야 하는 국소적 구별 불가능성 증명의 어려움을 해결하기 위해, LOCC의 구조적 성질인 비대칭성과 분리 가능성의 특성을 활용하는 것.
• 모든 $d \geq 4$에 대해 $d\otimes d$ 시스템에서 국소적으로 구별 불가능한 완전한 $d$개의 최대 얽힘 상태 집합을 명시적으로 구성하여 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결하는 것.
• 시스템 차원에 비해 국소적으로 구별 불가능한 집합의 크기를 최소화하여, 짝수 $d \geq 6$일 때 비율 $k/d$가 $3/4$에 가까워지도록 하는 것.

제안 방법

• LOCC 프로토콜의 비대칭성(한 당사자가 비자명한 측정을 먼저 수행해야 함)과 HSSH 얽힘 변환 기법을 융합한 '비대칭 HSSH 방법'을 도입하여 국소적 구별 불가능성에 대한 계산 가능한 기준을 도출하는 것.
• LOCC 프로토콜가 반드시 분리 가능하므로, 분리 가능성을 검출하는 양의 매핑을 구성하여 분리 측정으로 인한 구별 불가능성을 증명하는 데 활용하는 것.
• 시스템을 $d$의 가장 큰 진약수 $q$에 기반한 복합 큸딧 하위시스템으로 분해하여, 단위 연산자 $U = Z_q^n \otimes L_V$를 통해 구별 불가능한 집합을 구성하는 것. 여기서 $L_V$는 $2p$-레벨 하위시스템에서 정의된다.
• 측정 연산자의 추적에서 모순을 이끌어내는 방식으로, $\sum_U \text{Tr}(M_U (H_{2d} - \psi_U)) > 0$를 증명함으로써 분리 측정으로는 집합을 구별할 수 없음을 증명하는 것. 여기서 $H_{2d} = P_q \otimes A_{2p}$이다.
• 교환 연산자 $V_{2p}$와 연산자 $A_{2p} = (I_{2p} \otimes I_{2p} - V_{2p})/(2p)$를 사용하여 측정 과정에서의 비분리성을 감지하는 매핑을 정의하는 것.
• 기준을 적용하여 분리 측정으로도 구별 불가능한 것으로 증명된 집합 $\Xi_{2d}$를 크기 $k_\sigma = 2d - q + \sigma$로 구성하며, $\sigma$는 $k_\sigma$를 최대화하도록 선택하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $d \geq 4$에 대해 $d\otimes d$ 시스템에서 최대 얽힘 상태의 완전한 집합이 국소적으로 구별 불가능한가?
• RQ2 최대 얽힘 상태의 국소적으로 구별 불가능한 집합의 최소 크기는 시스템 차원 $d$에 비해 얼마이며, 이 비율을 $3/4$에 임의로 가깝게 만들 수 있는가?
• RQ3 LOCC 프로토콜의 비대칭성과 측정 연산자의 분리 가능성은 함께 결합되어 국소적 구별 불가능성에 대한 계산 가능한 기준을 도출하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ4 짝수 $d \geq 6$일 때, 항상 $d-1$개의 최대 얽힘 상태로 구성된 집합이 분리 측정으로도 구별 불가능한가?

주요 결과

• 모든 $d \geq 4$에 대해 $d\otimes d$ 시스템에서 국소적으로 구별 불가능한 완전한 $d$개의 최대 얽힘 상태 집합을 구성하였으며, 이는 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한 것이다.
• 짝수 $d \geq 6$에 대해, 비대칭 HSSH 방법을 통해 $d-1$개의 최대 얽힘 상태로 구성된 집합이 분리 측정으로도 구별 불가능함을 증명하였다.
• 국소적으로 구별 불가능한 최소 크기의 최대 얽힘 상태 집합의 크기 $k$와 시스템 차원 $d$의 비율 $k/d$는 큰 $d$의 근처에서 $3/4$에 수렴한다.
• $d = 4m$인 경우, $k = \frac{3}{4}d + 1$개의 최대 얽힘 상태 집합이 국소적으로 구별 불가능함을 입증하였으며, 이는 이전의 구성보다 향상된 결과이다.
• $d = 6m$이면서 $m$이 홀수인 경우, $k = \frac{5}{6}d$개의 국소적으로 구별 불가능한 최대 얽힘 상태 집합을 구성하였으며, 이는 이전 결과보다 더 높은 비율을 달성한 것이다.
• 이 방법은 이전에 추측되거나 수치적으로 확인된 최대 얽힘 상태 집합의 구별 불가능성을 확인하였으며, 계산 가능한 기준을 통해 엄밀한 해석적 증명을 제공한다.