[논문 리뷰] Determinants on von Neumann algebras, Mahler measures and Ljapunov exponents

Christopher Deninger|ArXiv.org|2007. 12. 05.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 에르고딕 측도 보존 작용과 관련된 교차곱 von Neumann 대수에서 연산자의 Fuglede-Kadison 행렬식에 대한 공식을 수립하며, 이를 관련 가측 코크실의 리아풀로프 지수로 표현한다. 주요 결과는 힌스버그 군 작용에 대한 Lind과 Schmidt의 엔트로피 공식을 일반화하며, 로그 행렬식이 원주 위의 양의 리아풀로프 지수 합의 적분과 같음을 보여주며, 이는 이산 힌스버그 군 von Neumann 대수에서의 비가환 다항식에 응용된다.

ABSTRACT

For an ergodic measure preserving action on a probability space, consider the corresponding crossed product von Neumann algebra. We calculate the Fuglede-Kadison determinant for a class of operators in this von Neumann algebra in terms of the Ljapunov exponents of an associated measurable cocycle. The proof is based on recent work of Dykema and Schultz. As an application one obtains formulas for the Fuglede-Kadison determinant of noncommutative polynomials in the von Neumann algebra of the discrete Heisenberg group. These had been previously obtained by Lind and Schmidt via entropy considerations.

연구 동기 및 목표

• 에르고딕 측도 보존 작용으로부터 유도되는 교차곱 von Neumann 대수의 연산자 클래스에 대한 Fuglede-Kadison 행렬식을 계산하는 것.
• Oseledets의 곱셈적 에르고딕 정리에 의해 가측 코크실의 리아풀로프 지수와 행렬식을 연결하는 것.
• 이산 힌스버그 군의 대수적 작용에 대한 Lind과 Schmidt의 엔트로피 공식을 함수해석학적 방법으로 유도하는 것.
• 힌스버그 군의 군 von Neumann 대수에서의 비가환 다항식으로까지 행렬식 공식을 확장하는 것.

제안 방법

• 유한 von Neumann 대수에서 충실한 정규 유한 측도를 갖는 Fuglede-Kadison 행렬식을 사용한다.
• 연산자 $ \rho $ 와 관련된 행렬 코크실 $ A_{\rho} $ 에 대해 Oseledets의 곱셈적 에르고딕 정리를 적용한다.
• Dykema와 Schultz의 Aluthge 변환 및 브라운 측도에 관한 연구를 활용하여 행렬식과 리아풀로프 지수를 연결한다.
• 유일한 에르고딕성 시스템에서의 균일 수렴을 이용하여 일반 케이스를 연속 케이스로 환원한다.
• 이산 힌스버그 군의 von Neumann 대수 $ \mathcal{N}\Gamma $ 를 회전 대수 $ \mathcal{R}_\zeta $ 로의 직접 적분 분해를 사용한다.
• 분해 가능한 연산자에 대해 $ \log\det_{\mathcal{M}}\Phi = \int_Z \log\det_{\mathcal{M}_\zeta}\Phi_\zeta \, d\mu(\zeta) $ 라는 측도 공식을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 힌스버그 군 von Neumann 대수에서의 비가환 다항식에 대한 Fuglede-Kadison 행렬식은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 가측 코크실의 리아풀로프 지수와 교차곱 von Neumann 대수에서의 Fuglede-Kadison 행렬식 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 Lind과 Schmidt의 $ \Gamma $-작용에 대한 엔트로피 공식은 von Neumann 대수 기법을 통해 유도될 수 있는가?
• RQ4 로그 행렬식이 리아풀로프 지수의 양의 부분의 적분과 같아지는 조건은 무엇인가?
• RQ5 von Neumann 대수의 직접 적분 분해에서 행렬식은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 이산 힌스버그 군의 복소계 군 대수에서 $ \Phi = 1 - a(y,z)x $ 인 경우, 로그 Fuglede-Kadison 행렬식은 $ \int_{S^1} \left( \int_{S^1} \log|a(\eta,\zeta)| \, d\mu(\eta) \right)^+ \, d\mu(\zeta) $ 와 같다.
• 일반적인 $ \Phi = \sum_{i=0}^N a_i(y,z)x^i $ 에 대해서는 로그 행렬식이 $ \int_{S^1} \sum_j r_j(\zeta) \chi_j(\zeta)^+ \, d\mu(\zeta) $ 와 같으며, 여기서 $ \chi_j(\zeta) $ 는 행렬 $ A_{\Phi_\zeta} $ 의 리아풀로프 지수이고 $ r_j(\zeta) $ 는 그 중복도이다.
• 이 공식은 $ S^1 $ 상에서 $ \mu $-거의 모든 점에서 성립하며, $ \mu $-거의 모든 $ \zeta $ 에 대해 $ \log|a(\cdot,\zeta)| \in L^1(S^1) $ 이므로 적분 가능성 보장된다.
• 에르고딕 이론 기법을 활용하여 연속 함수가 아닌 가측 계수 함수 $ a_i $ 에 대해서도 일반화되며, 연속 케이스로 환원된다.
• 행렬식 공식은 엔트로피 계산과 일치한다: $ \log\det_{\mathcal{N}\Gamma}\Phi = h_\Phi $, 여기서 $ h_\Phi $ 는 $ \mathbb{Z}\Gamma / \mathbb{Z}\Gamma\Phi $ 의 폰트리아진 쌍대체 위에서의 $ \Gamma $-작용의 엔트로피이다.
• 대수 $ \mathcal{R}_\zeta $ 내에서 $ \Phi_\zeta $ 가 유니터리임과 $ \mu $-거의 모든 $ \zeta $ 에 대해 $ \int_{S^1} \log|a(\eta,\zeta)| \, d\mu(\eta) \neq 0 $ 이 성립하는 것은 동치이다.