[논문 리뷰] Determination of 2-Adic Complexity of Generalized Binary Sequences of Order 2

Minghui Yang, Keqin Feng|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 30.

Coding theory and cryptography참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 복합 주기 $pq$ 상에서 레지오드 심볼을 통해 정의된 순서 2의 일반화된 이진 수열에 대한 정확한 2-adic 복잡도를 도출함으로써, $\text{gcd}((q-1)_o, 2^p - 1)$ 및 $\text{gcd}((p+1)_o, 2^q - 1)$를 포함하는 닫힌 형식의 표현식을 얻는다. 주요 기여는 기존 결과 [5] 및 [7]을 초월하여 더 강한 하한과 개선된 최대 2-adic 복잡도를 달성하기 위한 충분조건을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

The generalized binary sequences of order 2 have been used to construct good binary cyclic codes [4]. The linear complexity of these sequences has been computed in [2]. The autocorrelation values of such sequences have been determined in [1] and [3]. Some lower bounds of 2-adic complexity for such sequences have been presented in [5] and [7]. In this paper we determine the exact value of 2-adic complexity for such sequences. Particularly, we improve the lower bounds presented in [5] and [7] and the condition for the 2-adic complexity reaching the maximum value.

연구 동기 및 목표

• 서로 다른 홀수 소수 $p$와 $q$를 갖는 주기 $pq$를 가진 순서 2의 일반화된 이진 수열의 정확한 2-adic 복잡도를 결정하는 것.
• [5] 및 [7]에서 제시된 기존의 2-adic 복잡도 하한을 향상시키는 것.
• 2-adic 복잡도가 이론적 최대값에 도달할 수 있는 조건을 정밀화하는 것.
• 가우스 합 및 모듈로 산술의 성질을 사용하여 2-adic 복잡도에 대한 닫힌 형식의 표현식을 수립하는 것.

제안 방법

• 레지오드 심볼과 이차 가우스 합 $G_p$ 및 $G_q$를 포함하는 수열 정의를 바탕으로 $S(2) \bmod (2^{pq} - 1)$에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 모듈로 산술 항등식을 적용하여 $2S(2) \bmod (2^{pq} - 1)$를 기하급수와 가우스 합의 곱으로 표현함으로써 단순화한다.
• 레지오드 심볼의 성질과 홀수 소수 모듈로에서 2의 곱셈적 순서를 이용하여 $S(2)$ 가 $2^p - 1$, $2^q - 1$, $2^{pq} - 1$ 에 의해 나누어지는지 분석한다.
• 다음과 같이 정의된 $d_1 = \text{gcd}((q-1)_o, 2^p - 1)$, $d_2 = \text{gcd}((p+1)_o, 2^q - 1)$, $d_3 = 1$ 을 도입하고, $d = d_1 d_2 d_3 = \text{gcd}(S(2), 2^{pq} - 1)$ 임을 증명한다.
• 오일러 정리와 소수의 약수에 대한 2의 순서 분석을 포함한 수론적 추론을 사용하여 $d_1$, $d_2$, $d_3$ 가 두 개씩 서로 소임을 증명한다.
• 2-adic 복잡도를 $C_2(S) = \text{log}_2\big((2^{pq} - 1)/d_1 d_2\big)$ 로 수립하며, $d_1 = 1$ 또는 $d_2 = 1$ 인 경우의 명시적 조건을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기 $pq$를 갖는 순서 2의 일반화된 이진 수열에 대한 정확한 2-adic 복잡도는 무엇인가요?
• RQ2 [5] 및 [7]에서 이전에 보고된 하한을 초월하여 2-adic 복잡도는 어떻게 향상시킬 수 있나요?
• RQ3 2-adic 복잡도가 $\text{log}_2(2^{pq} - 1)$ 의 이론적 최대값에 도달할 수 있는 조건은 무엇인가요?
• RQ4 $(q-1)$ 과 $(p+1)$ 의 홀수 부분은 2-adic 복잡도를 결정하는 데 어떤 역할을 하나요?

주요 결과

• 수열의 정확한 2-adic 복잡도는 $C_2(S) = \text{log}_2\big((2^{pq} - 1)/d_1 d_2\big)$ 이며, 여기서 $d_1 = \text{gcd}((q-1)_o, 2^p - 1)$, $d_2 = \text{gcd}((p+1)_o, 2^q - 1)$ 이다.
• $(q-1)_o < 2p + 1$ 이면 $d_1 = 1$; $(p+1)_o < 2q + 1$ 이면 $d_2 = 1$ 이 되며, 이는 $C_2(S)$ 의 간단한 표현식을 이끌어낸다.
• 새로운 하한이 확립된다: $C_2(S) \geq \text{log}_2\big((2^{pq} - 1)/\text{max}((q-1)_o, (p+1)_o)\big)$ 로서, 이는 [5] 및 [7]의 이전 하한을 향상시킨다.
• $(q-1)_o < 2p - 1$ 과 $(p+1)_o < 2q - 1$ 이 모두 성립할 경우, 2-adic 복잡도는 최대값 $\text{log}_2(2^{pq} - 1)$ 을 도달한다.
• 증명은 $d_3 = \text{gcd}(S(2), (2^{pq} - 1)/((2^p - 1)(2^q - 1))) = 1$ 이며, 이는 $d = d_1 d_2$ 임을 보장한다.
• 분석은 $d_1$, $d_2$, $d_3$ 가 두 개씩 서로 소임을 확인하며, 이는 최종 공식의 정확성에 필수적이다.