[논문 리뷰] Determination of convection terms and quasi-linearities appearing in diffusion equations

Pedro Caro, Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 20.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 46인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 라우탈 표면에서의 경계 측정을 통해 포물형 확산 방정식에서 일반적인 대류 항과 준선형성을 유일하게 복원하는 것을 확립한다. 카르레만 추정과 그린 함수 유사 해를 사용하여, 시간 및 공간에 의존하는 일阶 계수와 비선형 항에 대한 유일성 정리를 증명하며, 리프시츠 영역에서의 비연속적인 설정에서 열려 있는 역문제에 대한 부분적인 해결책을 제시한다.

ABSTRACT

We consider the highly nonlinear and ill-posed inverse problem of determining some general expression $F(x,t,u, abla_xu)$ appearing in the diffusion equation $\partial_tu-Δ_x u+F(x,t,u, abla_xu)=0$ on $Ω imes(0,T)$, with $T>0$ and $Ω$ a bounded open subset of $\mathbb R^n$, $n\geq2$, from measurements of solutions on the lateral boundary $\partialΩ imes(0,T)$. We consider both linear and nonlinear expression of $F(x,t,u, abla_xu)$. In the linear case, the equation can be seen as a convection-diffusion equation and our inverse problem corresponds to the unique recovery, in some suitable sense, of a time evolving velocity field associated with the moving quantity as well as the density of the medium in some rough setting described by non-smooth coefficients on a Lipschitz domain. In the nonlinear case, we prove the recovery of more general quasi-linear expression appearing in a nonlinear parabolic equation associated with more complex model. Here the goal is to determine the underlying physical low of the system associated with our equation. In this paper, we consider for what seems to be the first time the unique recovery of a general vector valued first order coefficient, depending on both time and space variable. Moreover, we provide results of full recovery of some general class of quasi-linear terms admitting evolution inside the system independently of the solution from measurements at the boundary. These last results improve earlier works of Isakov in terms of generality and precision. In addition, our results give a partial positive answer, in terms of measurements restricted to the lateral boundary, to an open problem posed by Isakov in his classic book ( extit{Inverse Problems for Partial Differential Equations}) extended to the recovery of quasi-linear terms.

연구 동기 및 목표

• 경계 측정을 통해 일반적인 대류 항과 준선형성을 포함한 포물형 편미분방정식에서의 역문제를 유일하게 해결하는 것.
• 이전 결과를 확장하여 비연속적인 리프시츠 영역에서 시간 및 공간에 의존하는 벡터장과 비선형 항을 복원하는 것.
• 아이소바프가 제기한, 라우탈 경계 데이터로부터 준선형 항을 복원하는 데 대한 열려 있는 문제에 대한 부분적인 양의 답변을 제공하는 것.
• 해의 진전과 무관하게 변화하는 광범위한 비선형성의 클래스에 대해 유일성 정리를 확립하여 이전 연구들을 향상시키는 것.
• 오직 라우탈 경계 측정만을 사용하여 대류-확산 방정식과 비선형 포물형 방정식의 계수를 유일하게 결정하는 것.

제안 방법

• 특정 점근적 행동을 갖는 복소 기하학적 옹호(GO) 해를 구성하기 위해 음의 순서의 소볼레프 공간에서의 카르레만 추정을 사용한다.
• 준선형 역문제를 선형 역문제의 일련으로 줄이기 위해 선형화 절차를 적용한다.
• 포물형 방정식의 유일 연속성 성질을 활용하여 오차 항의 소멸을 유도함으로써 계수 복원에서의 소실을 도출한다.
• 측정 연산자로 딜레르흐-투-노이만(DN) 연산자를 사용하며, 데이터를 라우탈 표면 Σ로 제한한다.
• 진동하는 위상과 함께 해를 구성하여 점근적 분석을 통해 계수 정보를 추출한다.
• GO 해 전개와 경계 추적 분석에서 유도된 일阶 및 영계수의 구조에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 및 공간에 의존하는 비연속적인 벡터장 $ A(x,t) $ 에 대해, $ A(x,t) \cdot \nabla_x u $ 형태의 일반적인 대류 항이 라우탈 경계 측정을 통해 유일하게 복원될 수 있는가?
• RQ2 해 $ u $ 와 $ \nabla_x u $ 에 모두 의존하는 준선형 항 $ F(x,t,u,\nabla_x u) $ 를 포함한 도함수들까지 포함하여, 경계 데이터로부터 이를 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ3 전체 도메인 데이터 없이 오직 라우탈 경계 측정만을 사용하여 비선형 포물형 방정식의 역문제를 어느 정도 해결할 수 있는가?
• RQ4 리프시츠 영역에서 비연속 계수의 존재가 이러한 역문제에서 계수 복원의 유일성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이전 연구의 범위를 초월하여 해의 진전과 무관하게 변화하는 계수를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비연속적이고 시간에 의존하는 $ A(x,t) $ 에 대해, 라우탈 경계 측정을 통해 대류-확산 방정식에서의 벡터장 $ A(x,t) $ 가 유일하게 복원됨을 증명한다.
• 이전 연구에서 시간에 의존하지 않거나 추상적으로 정의된 비선형성에 국한되었던 결과를 넘어서, 경계 데이터로부터 준선형 항 $ F(x,t,u,\nabla_x u) $ 의 유일한 결정을 확립한다.
• 저자들은 $ \partial_u F_1(x,t,0,0) = \partial_u F_2(x,t,0,0) $ 와 $ \partial_v F_1(x,t,0,0) = \partial_v F_2(x,t,0,0) $ 를 보여주며, 선형화된 계수의 완전한 복원을 의미한다.
• 포물형 방정식의 유일 연속성 성질을 사용하여, 해의 차이가 소멸함을 증명함으로써 선형화된 시스템에서 $ A_1 = A_2 $ 와 $ q_1 = q_2 $ 를 이끌어낸다.
• 이 결과들은 아이소바프의 열려 있는 문제(2017년 책의 문제 9.6번)에 대한 부분적인 해결책을 제공한다. 이 문제는 라우탈 경계 데이터로부터 준선형 항을 복원하는 것에 관한 것이다.
• 이 틀은 도메인이 오직 리프시츠일지라도, 계수가 $ L^\infty $ 에 속할 경우에도 계수 복원이 가능하게 하여, 역방법의 적용 범위를 크게 넓힌다.