[논문 리뷰] Determining a fractional Helmholtz system with unknown source and medium parameter

Xinlin Cao, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 26.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 18인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 외부 측정을 통해 분수형 헬름홀츠 시스템에서 알 수 없는 내부 소스와 매질 매개수를 동시에 복원하는 데 있어 유일성 결과를 확립한다. 저주파 근사 분석과 룬게 근사 성질을 활용하여, 소스 함수와 매질 매개수가 주어진 다주파수 딜리클레-투-노이만 데이터로부터 유일하게 결정됨을 증명한다. 이는 소스가 주파수에 의존할 수 있고 매질이 알려져 있지 않을 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

We are concerned with an inverse problem associated with the fractional Helmholtz system that arises from the study of viscoacoustics in geophysics and thermoviscous modelling of lossy media. We are particularly interested in the case that both the medium parameter and the internal source of the wave equation are unknown. Moreover, we consider a general class of source functions which can be frequency-dependent. We establish several general uniqueness results in simultaneously recovering both the medium parameter and the internal source by the corresponding exterior measurements. In sharp contrast, these unique determination results are unknown in the local case, which would be of significant importance in thermo- and photo-acoustic tomography.

연구 동기 및 목표

• 알 수 없는 매질 매개수를 가진 분수형 헬름홀츠 시스템에서 내부 소스와 매질 매개수를 동시에 복원하는 역문제를 다루는 것.
• 소스와 매질이 모두 알려져 있지 않고 소스가 주파수에 의존할 수 있는 경우, 동시에 복원하는 데 있어 유일성 결과를 확립하는 것.
• 저주파 데이터를 사용하여 소스가 매질 매개수와 무관하게 유일하게 결정됨을 보이는 것.
• 전체 다주파수 데이터를 사용하여 소스 함수와 무관하게 매질 매개수를 유일하게 복원할 수 있음을 증명하는 것.
• 비스코아쿠스틱 모델에서 음속과 소스 항을 복원하는 것과 같은 실용적 응용으로 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 해의 저주파 근사 분석을 통해 ω = 0에서 소스 및 매질 매개수에 관한 정보를 추출한다.
• 비국소 연산자 (−∇·(σ∇))ˢ 에 대한 룬게 근사 성질을 적용하여 L²(Ω)에서 조밀한 근사 수열을 구성한다.
• 콤���트 임bedding 정리와 강한 유일성 성질을 활용하여 분수형 소볼레프 공간에서 해의 행동을 분석한다.
• 해의 차이와 매개수의 차이를 포함하는 적분 항등식을 유도하고, 이를 통해 매개수 차이의 소멸을 도출한다.
• 다양한 주파수에 대해 정의된 외부 영역에서의 딜리클레-투-노이만 맵 Λ^ω_{q,p} 를 사용하여 경계 측정을 인코딩한다.
• p(x,ω)가 ω에 대해 C³라고 가정하여, 근사 극한에서 초기 데이터 p(x,0) 및 ∂p/∂ω(x,0) 를 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매질 매개수 q가 알려져 있지 않을 때, 외부 측정을 통해 내부 소스 항 p(x,ω)를 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ2 소스 p가 알려져 있지 않을 때, 다주파수 외부 데이터로부터 매질 매개수 q를 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ3 딜리클레-투-노이만 맵의 저주파 근사 행동이 소스 및 매질 매개수를 유일하게 결정하는가?
• RQ4 소스나 매질에 대한 사전 지식 없이, 외부 측정만을 사용하여 소스와 q를 동시에 복원하는 것이 가능한가?
• RQ5 결과를 주파수에 의존하는 소스를 가진 비스코아쿠스틱 모델과 같은 물리적 모델로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• p가 ω에 대해 C³이면, ω ∈ (0, ω₀) 에서의 딜리클레-투-노이만 데이터로부터 소스 함수 p(x,ω)가 유일하게 결정된다; 특히 p(x,0) 및 ∂p/∂ω(x,0) 가 유일하게 복원된다.
• 두 번째 도함수 (p₁−p₂) 가 ω=0 에서 0이 되고, 모든 ψ ∈ C_c^∞(𝒪₁) 과 ω ∈ (0, ω₀) 에서 딜리클레-투-노이만 데이터가 일치하면 매질 매개수 q 가 유일하게 결정된다.
• 소스 복원은 q 와 독립적이다: 외부 측정을 통해 소스를 복원하기 위해 매질에 대한 지식이 필요하지 않다.
• 매질 매개수 q 복원은 p 와 독립적이다: 소스가 알려져 있거나, 또는 ω=0 에서 두 번째 도함수가 0이면, q 는 데이터로부터 유일하게 복원될 수 있다.
• 결과는 비스코아쿠스틱 모델과 같은 물리적 모델에 적용 가능하다: p(x,ω) = iωf(x)/c² + g(x)/c² 이고 q = −1/c² 이면, f, g, c 가 모두 유일하게 복원된다.
• p가 ω에 대해 C³가 아니어도, 예를 들어 소스 h̃(x,ω) = ρ(x)κ(ω) 이고 κ(0) 이 알려져 있으며 0이 아니면, Theorem 1.1 과 그 증명 구조를 사용하여 ρ(x) 가 여전히 유일하게 복원될 수 있다.