[논문 리뷰] Determining a nonlinear hyperbolic system with unknown sources and nonlinearity

Yi‐Hsuan Lin, Hongyu Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 21.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 42인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 수동 및 능동 경계 측정을 통해 시간에 의존하는 비선형 히퍼볼릭 방정식에서 알려지지 않은 비선형성과 초기 소스(초기 변위 및 속도)를 동시에 유일하게 복원하는 결과를 확립한다. 고차 선형화와 복소 기하학적 옹도(CGO) 해법, 파동 방정식 관측 가능성의 조합을 통해 저자들은 일반 조건 하에서 초기 자료와 계수를 동시에 유일하게 복원함을 증명하며, 비선형 히퍼볼릭 시스템에 대한 역문제에서 새로운 접근을 이룩한다.

ABSTRACT

We investigate inverse boundary problems associated with a time-dependent semilinear hyperbolic equation, where both nonlinearity and sources (including initial displacement and initial velocity) are unknown. We establish in several generic scenarios that one can uniquely determine the nonlinearity or the sources by using passive or active boundary observations. In order to exploit the nonlinearity and the sources simultaneously, we develop a new technique, which combines the observability for linear wave equations and a Runge approximation with higher order linearization for the semilinear hyperbolic equation.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 반선형 히퍼볼릭 방정식에서 알려지지 않은 비선형성과 알려지지 않은 초기 소스(초기 변위 및 속도)를 포함한 경계 역문제를 다루는 것.
• 초기 자료와 비선형 항이 경계 측정치로부터 어떻게 유일하게 결정될 수 있는지 조건을 설정하는 것.
• 고차 선형화, 관측 가능성, CGO 해법을 조합한 새로운 기법을 개발하여 동시에 복원하는 것.
• 기존의 역문제 프레임워크를 확장하여 히퍼볼릭 시스템 내에서 알려지지 않은 제0차 및 제1차 비선형 항을 포함하는 것.
• 더 높은 복원 성능을 얻기 위해 수동 및 능동 측정 전략을 통합하는 것.

제안 방법

• 비선형 항과 초기 자료에 대한 정보를 추출하기 위해 딜리클레-투-노이만 맵의 고차 선형화를 수행한다.
• 형태가 $ v = a(x,t)e^{i\tau(\eta(x)+t)} + R^{(\tau)} $ 인 복소 기하학적 옹도(CGO) 해법을 사용하여 진동하는 해로 시스템을 탐색한다.
• 운반 방정식 $ a_t - \frac{x}{|x|} \cdot \nabla a - \frac{n-1}{2|x|}a = 0 $ 와 점점 $ L^2 $에서 0으로 수렴하는 잔여항 $ R^{(\tau)} $ 을 만족하는 CGO 해법의 존재를 확립한다. $ |\tau| \to \infty $ 일 때.
• 선형화된 파동 방정식의 해와 원래의 반선형 시스템을 연결하기 위해 히퍼볼릭 유형의 근사 성질을 적용한다.
• 선형 파동 방정식의 해의 곱의 완전성을 이용하여 알려지지 않은 계수와 초기 자료를 재구성한다.
• 첫 번째 선형화가 초기 자료를 제거함으로써 비선형 항을 분리하고 유일하게 복원할 수 있음을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제0차 계수가 사전에 알려져 있을 때, 수동 경계 측정치로부터 반선형 히퍼볼릭 방정식의 초기 자료를 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건 하에서 능동 경계 측정치를 사용하여 초기 자료와 비선형 항을 동시에 복원할 수 있는가?
• RQ3 고차 선형화와 CGO 해법을 어떻게 조합하여 알려지지 않은 소스를 가진 히퍼볼릭 시스템에서 비선형성을 복원할 수 있는가?
• RQ4 관측 가능성과 해의 완전성의 조합을 통해 반선형 히퍼볼릭 방정식에서 초기 자료와 제0차 계수를 동시에 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ5 비선형성에 대해 어떤 구조적 가정이 수동 또는 능동 측정을 통한 유일한 복원을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 제0차 계수가 사전에 알려져 있을 경우, 수동 경계 측정치로부터 초기 자료를 유일하게 결정할 수 있다.
• 비선형성이 특정 클래스에 속할 경우, 비선형성이 알려지지 않은 상태에서도 여전히 수동 측정치를 통해 초기 자료를 유일하게 복원할 수 있다.
• 허용 가능한 계수 조건 하에서, 히퍼볼릭 근사 성질과 파동 해의 완전성을 이용하여 초기 자료와 계수를 동시에 복원할 수 있다.
• DN 맵의 첫 번째 선형화는 초기 자료를 제거함으로써 비선형 항을 분리하고 유일하게 결정할 수 있도록 한다.
• 제시된 방법은 코로나리 2.7에 명시된 lin-earized 대응계에서 초기 자료와 제0차 계수를 동시에 복원하는 것으로서, 지금까지 알려진 바 없는 첫 번째 결과를 달성한다.
• 국소 잘 정의된 문제의 소형 조건은 해의 존재를 위한 것이며, 역문제의 유일성 결과에 영향을 주지 않는다.