[논문 리뷰] Determining Acceptance Possibility for a Quantum Computation is Hard for the Polynomial Hierarchy

Stephen Fenner, Frederic Green외 2명|ArXiv.org|1998. 12. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 양자 계산이 비영 확률 수용을 갖는지 여부를 판단하는 것이 다항계층(PH)에 대해 어렵다는 것을 입증하며, 문제의 복잡도가 복잡도 클래스 coC$_=$P에 완전하다고 보여준다. 저자들은 양자 버전의 NP인 NQP가 coC$_=$P와 동일하다는 것을 증명함으로써, 이러한 수용 결정 문제가 PH에 속하는 문제들만큼은 최소한 어려운 것으로 밝혀내며, 양자 계산 검증의 근본적인 계산적 한계를 강조한다.

ABSTRACT

It is shown that determining whether a quantum computation has a non-zero probability of accepting is at least as hard as the polynomial time hierarchy. This hardness result also applies to determining in general whether a given quantum basis state appears with nonzero amplitude in a superposition, or whether a given quantum bit has positive expectation value at the end of a quantum computation. This result is achieved by showing that the complexity class NQP of Adleman, Demarrais, and Huang, a quantum analog of NP, is equal to the counting class coC$_=$P.

연구 동기 및 목표

• 양자 계산이 비영 확률 수용을 갖는지 여부를 판단하는 문제의 계산 복잡도를 조사하는 것.
• 양자 복잡도 클래스와 고전 복잡도 클래스, 특히 다항계층(PH) 간의 관계를 분석하는 것.
• 양자 수용 가능성의 결정 문제의 정확한 복잡도를 규명하는 것.
• 양자 기저 상태와 기대값이 양자 계산 검증에서 수행하는 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 저자들은 양자 기계의 비영 수용 확률을 갖는 문제를 포괄하는 양자 복잡도 클래스 NQP를 정의하고 분석한다. 이는 NP의 양자 버전이다.
• 그들은 NQP가 C$_=$P(정확한 등가성을 갖는 수치 문제로 구성된 문제들)의 보완이 포함된 고전적 수치 클래스 coC$_=$P와 정확히 동일하다는 것을 증명한다.
• 대수적이고 조합 기반 기법을 사용하여 수용 문제를 이진 행렬과 다항식에 대한 수치 문제로 감소시킨다.
• 비영 수용이 coC$_=$P 결정 문제와 동치임을 보이기 위해 양자 진폭의 성질과 양자 회로의 구조를 이용한다.
• 양자 질의 복잡도와 양자 상태 진폭의 구조에 기반한 결과를 활용하여 딱딱한 결과를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 계산이 비영 확률 수용을 갖는지 여부를 판단하는 것이 다항계층의 문제만큼 어려운가?
• RQ2 양자 복잡도 클래스 NQP와 고전적 수치 클래스인 coC$_=$P 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 특정 양자 기저 상태의 비영 진폭을 탐지하는 문제를 알려진 고전 복잡도 클래스로 감소시킬 수 있는가?
• RQ4 양자 비트의 기대값은 양자 계산 검증의 복잡도와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 양자 계산이 비영 확률 수용을 갖는지 여부를 판단하는 것은 다항계층(PH)에 대해 어렵다.
• 양자 복잡도 클래스 NQP는 정확히 고전적 수치 클래스 coC$_=$P와 동일하다.
• 특정 양자 기저 상태가 중첩 상태에서 비영 진폭을 갖는지 여부를 판단하는 문제는 coC$_=$P-완전하다.
• 주어진 큐비트가 양자 계산의 끝에서 양의 기대값을 갖는지 여부를 판단하는 문제 역시 coC$_=$P-완전하다.
• 이러한 결과들은 양자 계산의 기본 성질을 검증하는 것이 다항계층의 문제를 해결하는 것만큼 계산적으로 어렵다는 것을 시사한다.