[논문 리뷰] Determining probability density functions with adiabatic quantum computing

Matteo Robbiati, Juan Cruz–Martinez외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 데이터 샘플에서 확률 밀도 함수(PDF)를 추정하기 위한 새로운 애디아바틱 양자 계산 방법을 제안한다. 이 방법은 경험적 누적분포함수(CDF)를 시간에 따라 변하는 하미르토니안으로 매핑하고, 애디아바틱 진화를 통해 PDF를 도함수로 추출한다. 이론적 분석과 실측 초전도 큐비트 하드웨어에서 오차 보정 없이도 정확한 결과를 도출하는 데 성공하였다.

ABSTRACT

The two main approaches to quantum computing are gate-based computation and analog computation, which are polynomially equivalent in terms of complexity, and they are often seen as alternatives to each other. In this work, we present a method for fitting one-dimensional probability distributions as a practical example of how analog and gate-based computation can be used together to perform different tasks within a single algorithm. In particular, we propose a strategy for encoding data within an adiabatic evolution model, which accomodates the fitting of strictly monotonic functions, as it is the cumulative distribution function of a dataset. Subsequently, we use a Trotter-bounded procedure to translate the adiabatic evolution into a quantum circuit in which the evolution time t is identified with the parameters of the circuit. This facilitates computing the probability density as derivative of the cumulative function using parameter shift rules.

연구 동기 및 목표

• 고에너지 물리학 분야에서 데이터 샘플로부터 신뢰할 수 있는 확률 밀도 함수(PDF) 추정 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 양자 기계학습 모델(예: QNN, GAN)이 닫힌 형태의 PDF를 생성하지 못하거나 학습의 불안정성 문제를 겪는 한계를 극복하기 위해.
• 학습 과정 없이 제약 조건을 고려한 방법으로, 애디아바틱 양자 진화와 양자 회로 미분을 활용한 PDF 추정 기법을 개발하기 위해.
• 오직 파라미터 시프트 규칙과 회로 기반 양자 계산만을 사용하여 NISQ 시대의 양자 장치에서 직접 PDF 추론을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 애디아바틱 양자 진화를 활용하여 경험적 CDF를 근사화하기 위해 시간에 따라 변하는 하미르토니안 $ H(t) = [1 - s(t;\theta)]H_0 + s(t;\theta)H_1 $ 을 구성한다. 여기서 $ H_0 = X $, $ H_1 = Z $ 이고, $ s(t;\theta) $ 는 변분 스케줄링 함수이다.
• 스케줄링 함수 $ s(t;\theta) $ 는 시간 $ t \in [0,T] $ 동안 하미르토니안 $ H(t) $ 의 기본 상태 에너지가 목표 CDF 값과 일치하도록 최적화된다.
• 결과적으로 도출된 애디아바틱 하미르토니안은 게이트 기반 양자 프로세서에서의 구현을 가능하게 하기 위해 트로터 유사 분해를 통해 양자 회로로 분해된다.
• 확률 밀도 함수는 양자 회로에서 파라미터 시프트 규칙(PSR) 알고리즘을 사용하여 CDF의 도함수로 추출된다.
• 이 방법은 알려진 분포와 고에너지 물리학 몬테카를로 샘플에 대해 수치적으로 검증되었으며, 정확한 해석적 형태와 비교되었다.
• 하드웨어 평가는 TII의 양자 연구 센터에서 제공하는 5 큐비트 초전도 큐비트 칩을 사용하여 수행되었으며, 각 데이터 포인트당 $ N_{\text{shots}} = 1000 $ 이고 $ N_{\text{runs}} = 10 $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 신경망의 종단 간 전반적 학습이 필요 없이 애디아바틱 양자 계산을 통해 확률 밀도 함수를 추정할 수 있는가?
• RQ2 변분 스케줄링을 사용하여 경험적 누적분포함수를 시간에 따라 변하는 양자 하미르토니안으로 정확히 매핑할 수 있는가?
• RQ3 근접한 시대의 양자 하드웨어에서 파라미터 시프트 규칙을 얼마나 잘 활용하여 양자 회로 출력을 미분하고 PDF를 추출할 수 있는가?
• RQ4 오차 보정 없이도 실제 초전도 장치의 노이즈와 큐비트 품질에 대해 이 방법이 얼마나 강인한가?

주요 결과

• 이 방법은 가우시안, 감마, 지수 분포와 같은 알려진 분포에 대해 최악의 경우 상대 오차가 10% 이내로 PDF를 성공적으로 추정하였다. 이는 $ N_{\text{shots}} = 5 \times 10^4 $ 일 때에도 성립한다.
• 감마 분포의 경우, 5 큐비트 초전도 큐비트 칩에서의 하드웨어 결과는 큐비트 간 평균 예측 비율 $ \hat{y}/y $ 가 4.8에서 15.5 사이로 나타났으며, 품질에 따라 성능이 달라졌다.
• 할당 품질이 각각 0.953과 0.952인 큐비트 2번과 3번은 $ K $ 값이 각각 6.8과 4.8을 기록하여 상대적으로 우수한 성능을 보였다.
• 오차 보정 없이도 하드웨어에서 안정적인 CDF 피팅을 달성하여 NISQ 장치에 직접 구현 가능성을 시사한다.
• 파라미터 시프트 규칙을 통해 실제 하드웨어에서 정확한 PDF 추출이 가능했으며, 이는 실제 하드웨어에서의 미분 전략 검증에 기여하였다.
• 각 i.i.d. 변수에 대해 별도의 큐비트 레지스터를 사용하여 다차원 PDF로의 확장이 가능하다.