[논문 리뷰] Determining the full weight distribution of any irreducible cyclic code over any finite field of dimension two

Gerardo Vega|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 비가역 순환부호의 무게 분포를 완전히 결정한다. 부호의 차원이 1 또는 2일 경우, 기존의 한정된 특성화된 한 무게 및 반정적 두 무게 비가역 순환부호의 특성화를 활용하여, 부호의 길이만으로도 전체 무게 분포를 직접 계산할 수 있음을 보여준다. 이는 필드 크기와 부호 길이를 포함하는 간단한 gcd 기반 기준을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

In coding theory, a very interesting problem (but at the same time, a very difficult one) is to determine the weight distribution of a given code. This problem is even more interesting for cyclic codes, and this is so, mainly because they possess a rich algebraic structure, which can be utilized in a variety of ways. For example, in Engineering Telecommunications, this structure is commonly employed to design very efficient coding and decoding algorithms. In this note, we are going to use a characterization of all semiprimitive two-weight irreducible cyclic codes over any finite field, recently presented in [8], in order to determine the full weight distribution of any irreducible cyclic code over any finite field of dimension two. In fact, the relevance of our results is that by means of them we can actually directly determine the full weight distribution of any irreducible cyclic code, of dimension one or two, just by knowing its length.

연구 동기 및 목표

• 낮은 차원에서 비가역 순환부호의 전체 무게 분포를 결정하는 데 오랫동안 해결되지 않은 과제를 해결하기 위해.
• 비가역 순환부호의 복잡한 대수적 구조로 인해 무게 분포 계산이 어려운 문제를 해결하기 위해.
• 차원 1 또는 2에서의 무게 분포에 대한 완전한 분류와 명시적인 계산 방법을 제공하기 위해.
• 부호 길이와 전체 무게 분포 사이의 직접적인 연결 고리를 수립하여, 생성자 행렬 또는 검사행렬 분석이 필요 없도록 하기 위해.
• 기존의 한 무게 및 반정적 두 무게 부호에 대한 결과들을 하나의 실용적인 프레임워크로 통합하고 확장하기 위해.

제안 방법

• 이전 연구에서 제시된 한 무게 비가역 순환부호의 특성화(정리 1)를 활용하며, 이는 $ u = \text{gcd}(q+1, a) = 1 $ 조건에 의해 결정된다.
• 반정적 두 무게 비가역 순환부호의 특성화(정리 2)를 적용하며, 이는 $ u = \text{gcd}(q+1, a) > 2 $, $ f = \text{ord}_u(p) $ 가 짝수여야 하며, $ p^{f/2} \equiv -1 \pmod{u} $ 를 만족해야 한다.
• 부호 길이 $ n $ 에 기반하여 유도된 핵심 매개변수 $ u = \gcd(q+1, \frac{q^2 - 1}{n}) $ 를 도입하여, 생성자 다항식 또는 검사다항식을 알지 못해도 부호 유형을 분류할 수 있도록 한다.
• 반정적 두 무게 부호에 대한 무게 분포 공식(표 I 참조)을 사용하며, 무게는 $ \frac{n q^{k/2 - 1}}{\Delta}(q^{k/2} \pm (-1)^s (u-1)) $ 로 주어지고 빈도는 $ u $ 에 따라 달라진다.
• 차원 2일 경우, $ u = 1 $ 이면 한 무게 부호이며, $ 2 \leq u < q+1 $ 이면 반정적 두 무게 부호이며, 후자의 경우 무게 생성자 다항식이 알려져 있음을 적용한다.
• 부호 길이 $ n $ 에서만 $ u = \gcd(q+1, \frac{q^2 - 1}{n}) $ 를 사용하여 전체 무게 분포를 직접 결정할 수 있도록 하는 코로나리 1을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원이 1 또는 2인 임의의 비가역 순환부호의 전체 무게 분포를 부호 길이만으로도 결정할 수 있는가?
• RQ2 부호 길이와 필드 크기에 어떤 조건이 부호가 한 무게 또는 반정적 두 무게인지 결정하는가?
• RQ3 생성자 다항식의 구체적 지식 없이도 무게 분포를 계산하는 통합적이고 계산 효율적인 방법이 존재하는가?
• RQ4 기존의 한 무게 및 반정적 두 무게 부호의 특성화가 차원 2에서 완전한 분류로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 무게 분포가 부호 길이와 필드 크기로부터 유도된 단일 매개변수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 유한체 위의 차원 1 또는 2인 비가역 순환부호는 항상 한 무게 부호(만일 $ u = 1 $) 또는 반정적 두 무게 부호(만일 $ 2 \leq u < q+1 $)이다.
• 차원 1일 경우, 부호는 반복부호와 동치이며, 무게 생성자 다항식은 $ 1 + (q-1)z^n $ 이고, 비영 무게는 $ n $ 이다.
• 만일 $ u = 1 $ 이면, 부호는 두 무게 부호이며 비영 무게는 $ \frac{n}{q+1}q $ 이고, 무게 생성자 다항식은 $ 1 + (q^2 - 1)z^{\frac{nq}{q+1}} $ 이다.
• 만일 $ 2 \leq u < q+1 $ 이면, 무게 생성자 다항식은 $ 1 + \frac{q^2 - 1}{u}z^{\frac{n(q+1 - u)}{q+1}} + \frac{(q^2 - 1)(u - 1)}{u}z^n $ 이며, 두 개의 서로 다른 비영 무게가 존재한다.
• 만일 $ u = q + 1 $ 이면, 부호는 차원 1의 한 무게 부호이며, 무게 생성자 다항식은 $ 1 + (q - 1)z^n $ 이고, 반복부호와 동치이다.
• 코로나리 1은 부호 길이 $ n $ 만으로도 전체 무게 분포를 직접 계산할 수 있도록 하며, $ u = \gcd(q+1, \frac{q^2 - 1}{n}) $ 를 사용한다. 예제 2에서 $ q = 27 $, $ n = 104 $ 를 사용하여 $ 1 + 104z^{78} + 624z^{104} $ 를 도출하였다.