[논문 리뷰] Deterministic Partially Dynamic Single Source Shortest Paths in Weighted Graphs

Aaron Bernstein|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 29.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 14인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 가중 무방향 그래프에서 감소형 단일 출발지 최단경로에 대해 이전까지의 $O(mn)$ 총 업데이트 시간 경계를 깨는 첫 번째 결정적 알고리즘을 제시한다. 계층적 정점 클러스터링과 근사 거리 유지 기반의 새로운 스케일링 기반 접근법을 도입함으로써, 총 업데이트 시간을 $ ilde{O}(n^2 "log W)$로 달성하여, 가중 그래프에서의 결정적 동적 최단경로 분야에서 중대한 진전을 이룩한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the decremental single-source shortest paths (SSSP) problem, where given a graph $G$ and a source node $s$ the goal is to maintain shortest distances between $s$ and all other nodes in $G$ under a sequence of online adversarial edge deletions. In their seminal work, Even and Shiloach [JACM 1981] presented an exact solution to the problem in unweighted graphs with only $O(mn)$ total update time over all edge deletions. Their classic algorithm was the state of the art for the decremental SSSP problem for three decades, even when approximate shortest paths are allowed. A series of results showed how to improve upon $O(mn)$ if approximation is allowed, culminating in a recent breakthrough of Henzinger, Krinninger and Nanongkai [FOCS 14], who presented a $(1+ε)$-approximate algorithm for undirected weighted graphs whose total update time is near linear: $O(m^{1+o(1)}\log(W))$, where $W$ is the ratio of the heaviest to the lightest edge weight in the graph. In this paper they posed as a major open problem the question of derandomizing their result. Until very recently, all known improvements over the Even-Shiloach algorithm were randomized and required the assumption of a non-adaptive adversary. In STOC 2016, Bernstein and Chechik showed the first \emph{deterministic} algorithm to go beyond $O(mn)$ total update time: the algorithm is also $(1+ε)$-approximate, and has total update time $ ilde{O}(n^2)$. In SODA 2017, the same authors presented an algorithm with total update time $ ilde{O}(mn^{3/4})$. However, both algorithms are restricted to undirected, unweighted graphs. We present the \emph{first} deterministic algorithm for \emph{weighted} undirected graphs to go beyond the $O(mn)$ bound. The total update time is $ ilde{O}(n^2 \log(W))$.

연구 동기 및 목표

• 가중 무방향 그래프에서 결정적 감소형 단일 출발지 최단경로의 $O(mn)$ 총 업데이트 시간 장벽을 극복하기 위해.
• 이전에는 비가중 또는 무작위 설정에서만 달성 가능했던, 이차 이하의 총 업데이트 시간을 달성하는 결정적 해법을 제공하기 위해.
• 간선 삭제 및 가중치 증가 상황에서도 $(1+\epsilon)$-근사 최단경로 거리를 유지하면서 일정한 쿼리 시간을 확보하기 위해.
• 감소형 SSSP에 대해 근사 선형 시간 알고리즘의 무작위화를 제거하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 일반적인 가중 무방향 그래프로의 기존 기술 수준을 비가중 그래프와 무작위 알고리즘을 넘어서 확장하기 위해.

제안 방법

• 간선 가중치 수준과 동적 정점 컴포넌트를 기반으로 한 계층적 클러스터링 체계를 도입하여, 거리 근사치를 관리한다.
• 거리 값을 매개변수 $\tau = n/(\epsilon d)$ 기반으로 유지하는 스케일링 기법을 활용하여 오차 전파를 통제한다.
• 컴포넌트 간선과 $\tau$-경량 원본 간선을 포함하는 동적 보조 그래프 $G_\tau^s$를 사용하며, 간선 가중치를 $\beta$로 스케일링하여 복잡도를 감소시킨다.
• 층위 기반 데이터 구조를 적용하여 $ extbf{dist}_\tau^\prime(s,v)$의 근사 거리를 $ epsilon$-오차 범위 내에서 유지함으로써, 간선 삭제 상황에서도 정확성을 보장한다.
• 로그 형태의 거리 범위($d = 2^i$)에 걸친 다수의 거리 근사치를 통합하여 최소값 쿼리(min-queries)를 통해 전역 근사 보장을 달성한다.
• 거리 추정치를 제한하고 오차 누적를 통제하기 위해 $\textsc{bound}_d(x)$ 함수를 사용하며, 이로 인해 $\textbf{dist}^\prime(v) \leq (1+O(\epsilon))\textbf{dist}(s,v)$ 보장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 무방향 그래프에서 결정적 감소형 SSSP 알고리즘이 $O(mn)$ 이하의 총 업데이트 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ2 가중 그래프에서 근사 감소형 SSSP에 대해 근사 선형 시간 알고리즘의 무작위화를 제거하는 것이 가능한가?
• RQ3 어떻게 계층적 클러스터링과 스케일링을 조합하여 간선 삭제 상황에서도 낮은 업데이트 비용으로 근사 거리를 유지할 수 있는가?
• RQ4 가중 무방향 그래프에서 결정적 $(1+\epsilon)$-근사 SSSP의 최소 총 업데이트 시간은 얼마인가?
• RQ5 조금이라도 $O(mn)$ 경계를 결정적 설정에서 깨뜨릴 수 있는가, 가중 그래프에서조차도?

주요 결과

• 알고리즘은 $\tilde{O}(n^2 \log W)$의 총 업데이트 시간을 달성하며, 이는 가중 무방향 그래프에서 $O(mn)$ 경계를 깨는 첫 번째 결정적 결과이다.
• 알고리즘은 일정한 쿼리 시간을 유지하면서 $(1+\epsilon)$-근사 거리를 유지하여 정확성과 효율성을 보장한다.
• 고가중치 간선의 기여를 감소시키고 수준 간 오차 누적를 제한하기 위해 새로운 스케일링 및 클러스터링 프레임워크를 사용한다.
• 총 업데이트 시간은 $\tilde{O}(m \log^2 n \log(nW) + n^2 \log n \log(nW) \epsilon^{-2})$이며, $n$에 대해 거의 이차이며 $W$에 대해 다항로그 형태이다.
• 이 방법은 결정적 설정에서 가중 그래프에 대해 이차 이하의 총 업데이트 시간을 달성한 최초의 방법으로, 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.
• 알고리즘은 $O(\log(nW))$ 개의 거리 범위에 걸쳐 최소값 병합 전략(min-merge strategy)을 사용하여 다중 거리 척도에서 근사 거리를 유지한다.