[논문 리뷰] Deterministic Quantum Mechanics: the Mathematical Equations

Gerard ’t Hooft|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 13.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자역학을 결정론적 형태로 제안하며, 양자 시스템의 해밀토니안이 고정된 시간과 유한한 상태를 갖는 고전적 결정론적 시스템—특히 세포자동형( cellular automata)과 동일시될 수 있는 수학적 조건을 유도한다. 주요 결과는 고에너지 자유도를 통합함으로써 양자적 행동, 즉 비가환 관측량과 본 규칙(Born rule)이 결정론적이고 국소적인 상호작용에서 자연스럽게 유도된다는 것이다. 이는 비국소성이나 중력의 필요 없이 표준 양자 특성을 도출할 수 있음을 보여주며, 시간 이산화와 빠른 변수들이 표준 양자 특성을 유도하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Without wasting time and effort on philosophical justifications and implications, we write down the conditions for the Hamiltonian of a quantum system for rendering it mathematically equivalent to a deterministic system. These are the equations to be considered. Special attention is given to the notion of 'locality'. Various examples are worked out, followed by a systematic procedure to generate classical evolution laws and quantum Hamiltonians that are exactly equivalent. What is new here is that we consider interactions, keeping them as general as we can. The quantum systems found, form a dense set if we limit ourselves to sufficiently low energy states. The class is discrete, just because the set of deterministic models containing a finite number of classical states, is discrete. In contrast with earlier suspicions, the gravitational force turns out not to be needed for this; it suffices that the classical system act at a time scale much smaller than the inverse of the maximum scattering energies considered.

연구 동기 및 목표

• 양자 시스템의 해밀토니안이 결정론적 고전적 시스템과 동일시될 수 있는 수학적 조건을 제시하는 것.
• 비국소성이나 중력의 필요 없이 결정론적이고 국소적인 역학에서 양자역학이 유도될 수 있음을 보여주는 것.
• (unitarity), 국소성, 본 규칙을 유지하는 방식으로 상호작용을 다루는 프레임워크를 구축하는 것.
• 초기 상태 분포에서 확률이 보존되며, 추가적인 가정 없이도 본 규칙이 도출됨을 보여주는 것.
• 고에너지 모드는 이론의 양자적 성격을 손상시키지 않으며, 그 영향은 통합되어 저에너지 효과 이론이 완전히 양자역학적임을 보장함.

제안 방법

• 오늘로 상태를 힐버트 공간의 정규직교 기저 벡터로 정의하여 이산적이고 결정론적인 구성 상태로 간주한다.
• 유한한 시간 간격 δt를 사용한 이산 시간 진화를 통해 에너지 고유값의 주기성을 확보함으로써 유한 차원의 결정론적 기술이 가능하도록 한다.
• 오늘로 상태 간의 결정론적 전이를 보장하기 위해 해밀토니안이 오늘로 상태 위에서 유니터리 진동 연산자로 작용하도록 구성한다.
• 불필요한 전이를 제거하고 상호작용 강도를 O(√E_max) 수준으로 감소시키기 위해 '篩' 상태 |r⟩ 를 도입한다.
• 두 번째 양자화를 구현하여 인과성과 해밀토니안의 양의성을 복원한다. 이는 디랙의 장 양자화를 모방하지만, 기원은 결정론적이다.
• 상호작용 해밀토니안이 빛의 원뿔 외부에서 가환함을 요구함으로써 국소성을 확보한다. 이는 교환자 조건을 통해 강제로 구현된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 시간과 유한한 상태를 갖는 결정론적 고전적 시스템이 초위상과 얽힘을 포함한 양자역학의 전체 구조를 재현할 수 있는가?
• RQ2 비가환 관측량과 본 규칙이 근본적으로 결정론적인 프레임워크에서 어떻게 유도되는가?
• RQ3 빠르고 고에너지 자유도는 저에너지 효과 이론의 양자적 성격을 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 결정론적이고 비국소적인 기초 역학에서 양자장 이론의 국소성이 어떻게 복원되는가?
• RQ5 시간 이산화가 이루어진 상황에서도 표준 양자 형식 체계가 유도되는 이유는 무엇이며, 시간 격자 스케일의 물리적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 시간 격자상에서 이산화되면 자연스럽게 에너지 고유값이 주기적이므로, 해밀토니안 고유값이 주기적일 경우 양자역학이 결정론적 시스템과 수학적으로 동치가 될 수 있다.
• 조화 진동자는 원 위에서 주기적인 운동을 하는 결정론적 시스템으로서 나타나며, 이는 고전적 주기성과 양자 조화 운동 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 상태 |ψ^(i)⟩ 가 오직 근처의 오늘로 상태만 연결하면 비가환 상호작용 해밀토니안이 자연스럽게 유도되며, 빛의 원뿔 외부에서 교환자가 0이 되어 국소성이 유지된다.
• 본 규칙의 확률은 초기 상태 분포에서 유도되며, 확률의 보존 원리에 따라 '들어온 확률 = 나온 확률'이 되며, 추가적인 가정이 필요 없다.
• 고에너지 모드는 이론의 양자적 성격을 손상시키지 않으며, 그 효과는 통합되어 저에너지 효과 이론이 완전히 양자역학적임을 보장한다.
• 불확정성 원리는 근본적이지 않으며, 결정론적 프레임워크에서 빠르고 시공적으로 분리된 변수들의 정확한 시기 측정이 불가능하기 때문에 유도된다.