[논문 리뷰] Deterministic Sparse Fourier Transform with an ell_infty Guarantee

Yi Li, Vasileios Nakos|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 03.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 63인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 ℓ∞/ℓ1 복원 보장을 갖는 최초의 결정적 희소 푸리에 변환 알고리즘을 제시하며, O(k² log n)개의 샘플과 O(nk log² n)의 런타임을 달성한다. 이는 지수합의 경계와 버니스타인 부등식을 통한 새로운 비확률적 구성 방법을 통해 비일관 행렬을 유도하며, 기존의 최고 수준의 확률적 성능을 유지하면서도 희소 푸리에 신호에 대해 결정적 샘플링과 복원을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper we revisit the deterministic version of the Sparse Fourier Transform problem, which asks to read only a few entries of x ∈ ℂⁿ and design a recovery algorithm such that the output of the algorithm approximates x̂, the Discrete Fourier Transform (DFT) of x. The randomized case has been well-understood, while the main work in the deterministic case is that of Merhi et al. (J Fourier Anal Appl 2018), which obtains O(k² log^(-1) k ⋅ log^5.5 n) samples and a similar runtime with the 𝓁₂/𝓁₁ guarantee. We focus on the stronger 𝓁_∞/𝓁₁ guarantee and the closely related problem of incoherent matrices. We list our contributions as follows. 1) We find a deterministic collection of O(k² log n) samples for the 𝓁_∞/𝓁₁ recovery in time O(nk log² n), and a deterministic collection of O(k² log² n) samples for the 𝓁_∞/𝓁₁ sparse recovery in time O(k² log³n). 2) We give new deterministic constructions of incoherent matrices that are row-sampled submatrices of the DFT matrix, via a derandomization of Bernstein’s inequality and bounds on exponential sums considered in analytic number theory. Our first construction matches a previous randomized construction of Nelson, Nguyen and Woodruff (RANDOM'12), where there was no constraint on the form of the incoherent matrix. Our algorithms are nearly sample-optimal, since a lower bound of Ω(k² + k log n) is known, even for the case where the sensing matrix can be arbitrarily designed. A similar lower bound of Ω(k² log n/ log k) is known for incoherent matrices.

연구 동기 및 목표

• 강력한 ℓ∞/ℓ1 복원 보장을 갖는 결정적 희소 푸리에 변환 알고리즘을 개발하기 위해.
• 희소 복원을 가능하게 하는 DFT 행렬의 부분행렬인 결정적 비일관 행렬을 구성하기 위해.
• 확률적 및 결정적 희소 푸리에 변환 간 격차를 좁혀 거의 최적의 샘플 복잡도를 달성하기 위해.
• 해석적 수론 및 지수합 추정 기법을 활용해 기존의 확률적 구성 방법에 대한 비확률적 대안을 제공하기 위해.

제안 방법

• 버니스타인 부등식을 비확률적으로 변형하여 희소 푸리에 복원을 위한 결정적 샘플링 집합을 구성한다.
• 해석적 수론에서의 지수합 경계를 사용하여 샘플링 행렬의 비일관성을 보장한다.
• 생성자 성질과 부분군 구조를 활용해 Z_p^*의 곱셈 부분군 기반 샘플링 집합을 구성한다.
• O(k² log n)개의 항목을 샘플링하고 O(nk log² n) 시간 내에 신호를 복원하는 결정적 알고리즘을 유도한다.
• 모든 주파수 인덱스 쌍에 걸쳐 균일한 비일관성을 보장하기 위해 군 이론적 및 수론적 도구를 적용한다.
• 알론의 비일관성 결과를 기반으로 한 새로운 하한 증명을 통해 샘플 복잡도의 거의 최적성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정적 희소 푸리에 변환 알고리즘이 거의 최적의 샘플 복잡도를 갖는 ℓ∞/ℓ1 복원 보장을 달성할 수 있는가?
• RQ2 어떤 결정적 샘플링 집합이 강력한 ℓ∞/ℓ1 보장을 갖는 희소 복원을 가능하게 하는 비일관 행렬을 제공하는가?
• RQ3 확률적 구성의 비확률화가 희소 푸리에 변환에서 최적의 결정적 알고리즘을 도출할 수 있는가?
• RQ4 Z_p^*의 지수합 경계와 군 구조는 비일관 행렬을 구성하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 희소 푸리에 복원을 위한 결정적 샘플링의 이론적 한계는 무엇이며, 결정적 알고리즘은 그에 얼마나 가까이 도달할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 결정적 ℓ∞/ℓ1 희소 푸리에 복원에 대해 O(k² log n)개의 샘플과 O(nk log² n)의 런타임을 달성한다.
• DFT 행렬의 행 샘플링을 통한 비일관 행렬의 결정적 구성 방법을 제공하며, 기존 최고 수준의 확률적 성능를 그대로 유지한다.
• 구성은 Z_p^*의 곱셈 부분군과 지수합 경계를 활용하여 비일관성을 보장한다.
• 샘플 복잡도는 거의 최적이며, 알려진 Ω(k² + k log n) 하한선을 로그 인자 수준에서 일치시킨다.
• 기존 결정적 연구에서 달성한 ℓ2/ℓ1 보장보다 더 강력한 ℓ∞/ℓ1 보장을 달성한다.
• 특정 조건 하에서 어떤 구성이라도 Ω(√|S| log|S| n)의 성장률을 가져야 한다는 새로운 지수합 하한선을 확립한다.