[논문 리뷰] Deutsch-Jozsa Algorithm Revisited in the Domain of Cryptographically Significant Boolean Functions

Subhamoy Maitra, Partha Mukhopadhyay|ArXiv.org|2004. 10. 06.

Coding theory and cryptography참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 암호학적으로 중요한 부울 함수의 비영인 월리쉬 스펙트럼 점을 찾는 문제를, 함수가 오ракูล로 제공될 경우 드류이트-조자 양자 알고리즘을 통해 일정 시간 내에 해결할 수 있음을 보여준다. 반면 최고의 고전적 접근 방식은 지수 시간이 소요된다. 주요 기여는 이 양자 우월성이 암호학적으로 관련성이 높은 부울 함수의 광범위한 클래스에 적용된다는 점으로, 높은 비선형성 또는 상관 무관성 특성을 가진 함수들에 해당한다.

ABSTRACT

Boolean functions are important building blocks in cryptography for their wide application in both stream and block cipher systems. For cryptanalysis of such systems one tries to find out linear functions that are correlated to the Boolean functions used in the crypto system. Let $f$ be an $n$-variable Boolean function and its Walsh spectra is denoted by $W_f(ω)$ at the point $ω\in \{0, 1\}^n$. The Boolean function is available in the form of an oracle. We like to find an $ω$ such that $W_f(ω) eq 0$ as this will provide one of the linear functions which are correlated to $f$. We show that the quantum algorithm proposed by Deutsch and Jozsa (1992) solves the above mentioned problem in constant time. However, the best known classical algorithm to solve this problem requires exponential time in $n$. We also analyse certain classes of cryptographically significant Boolean functions and highlight how the basic Deutsch-Jozsa algorithm performs on them.

연구 동기 및 목표

• 암호학적 시스템에서 주어진 부울 함수와 관련된 선형 함수를 식별하는 계산 과제를 해결하기 위해.
• 드류이트-조자 알고리즘이 양자 모델에서는 이 문제에 대해 일정 시간 내에 해결 가능하지만, 고전적 접근 방식은 지수 시간이 소요된다는 것을 보여주기 위해.
• 특정 부울 함수 클래스, 예를 들어 선형 함수와의 해밍 거리가 제한된 함수들에 대해 드류이트-조자 알고리즘의 성능을 분석하기 위해.
• 이 결과가 양자 복잡도 이론, 특히 BPP와 BQP 또는 EQP 사이의 상대화된 분리에 미치는 영향을 탐색하기 위해.
• 고전적 복잡도 클래스와 양자 복잡도 클래스 사이의 더 강력한 분리를 확립하는 데 도움이 될 수 있는 BQP 내 새로운 문제 클래스를 식별하기 위해.

제안 방법

• 드류이트-조자 알고리즘을 $n$-변수 부울 함수 $f$의 값을 임의의 입력 $x \in \{0,1\}^n$ 에 대해 반환하는 오라클에 적용한다.
• 함수가 상수인지 또는 균형 있는지 여부를 판단함으로써, 비영인 월리쉬 계수 $W_f(\omega)$ 가 존재하는지 유추한다.
• 이 방법은 $W_f(\omega) \neq 0$ 이면 선형 함수 $\omega \cdot x$ 가 $f$ 와 상관이 있다는 사실에 기반한다. 이는 선형 암호분석에 필수적이다.
• 분석은 해밍 거리가 $1.17 \cdot 2^{n-3}$ 이하인 일부 선형 함수와의 거리가 제한된 함수 클래스 $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$ 로 확장된다. 이 경우 높은 성공 확률을 보장한다.
• 성공 확률은 $|W_f(\hat{\omega})| \geq 2^n - 2d(f, \hat{\omega} \cdot x)$ 를 이용하여 유계화되며, 이에 따라 최소 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \epsilon\right)^2 > \frac{1}{2} + \epsilon$ 의 성공 확률을 갖는다.
• 알고리즘은 $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$ 에 속한 함수들에 대해 $|W_f(\omega)|$ 를 최대화하는 $\omega$ 를 찾도록 수정되어, 이 문제가 BQP에 속한다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수가 오라클로 제공될 경우 드류이트-조자 알고리즘이 비영인 월리쉬 계수를 효율적으로 찾는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 높은 비선형성 또는 상관 무관성 특성을 가진 부울 함수 클래스에 대해 드류이트-조자 알고리즘의 성능은 어떠한가?
• RQ3 이 설정에서 관측된 양자 속도 향상은 BPP와 BQP 또는 EQP 등의 고전적 복잡도 클래스와 양자 클래스 사이의 상대화된 분리를 암시하는가?
• RQ4 드류이트-조자 알고리즘이 높은 확률로 성공하는 부울 함수의 클래스는 얼마나 큰가?
• RQ5 이 접근 방식은 양자 질의 복잡도를 이용하여 암호분석에 관련된 부울 함수의 구조적 성질을 식별하는 데 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 드류이트-조자 알고리즘은 양자 오라클 모델 하에서 비영인 월리쉬 계수를 일정 시간 내에 해결할 수 있으나, 고전적 접근 방식은 $O(2^n)$ 번의 질의가 필요하다.
• 해밍 거리가 어떤 선형 함수와 $2^{n-3}$ 이내인 함수들인 $\mathcal{L}_n$ 에 속하는 함수들에 대해 알고리즘의 성공 확률은 최소 $\frac{9}{16}$ 이다.
• 거리 제한이 $1.17 \cdot 2^{n-3}$ 인 확장된 클래스 $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$ 에 대해서는 성공 확률이 $\frac{1}{2} + \epsilon$ 을 초과하며, $\epsilon > 0$ 이다.
• $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$ 의 크기는 $\mathcal{L}_n$ 과는 엄격히 더 크며, 이는 알고리즘이 효과적으로 작용할 수 있는 넓은 범위의 함수들을 의미한다.
• $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$ 에 속한 함수들에 대해 $|W_f(\omega)|$ 의 최대값을 찾는 문제는 오라클 $f$ 에 대해 BQP에 속한다는 것이 입증되었다.
• 결과적으로 이 문제는 BPP 또는 PH 등의 고전적 복잡도 클래스 외부에 위치할 수 있으며, BQP와 고전적 클래스 사이의 상대화된 분리를 증명하는 데 후보가 될 수 있다.