[논문 리뷰] Development and comparison of spectral algorithms for numerical modeling of the quasi-static mechanical behavior of inhomogeneous materials

Mohammad Khorrami, Jaber Rezaei Mianroodi외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 04.

Composite Material Mechanics참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 푸리에 급수 이산화 방법—사다리꼴 (TD) 및 조각별 상수 (PCD)—를 사용하여 비균질 재료에서 준정적 기계적 거동을 모델링하기 위한 스펙트럼 알고리즘을 개발하고 비교한다. 그와 함께 그린 함수 조절법(GFP)과 유한차분 이산화(FDD)를 적용한다. 평균 전진-후진 미분(ABF) 방법은 TD에서 윌롯의 기울인 방법과 동일하며, 더 큰 상대기계적 대비를 가진 경우에 DGO 방법보다 더 높은 수렴 속도를 보인다.

ABSTRACT

In the current work, a number of algorithms are developed and compared for the numerical solution of periodic (quasi-static) linear elastic mechanical boundary-value problems (BVPs) based on two different discretizations of Fourier series. The first is standard and based on the trapezoidal approximation of the Fourier mode integral, resulting in trapezoidal discretization (TD) of the truncated Fourier series. Less standard is the second discretization based on piecewise-constant approximation of the Fourier mode integrand, yielding a piecewise-constant discretization (PCD) of this series. Employing these, fixed-point algorithms are formulated via Green-function preconditioning (GFP) and finite-difference discretization (of differential operators; FDD). In particular, in the context of PCD, this includes an algorithm based on the so-called "discrete Green operator" (DGO) recently introduced by Eloh et al. (2019), which employs GFP, but not FDD. For computational comparisons, the (classic) benchmark case of a cubic inclusion embedded in a matrix (e.g., Suquet, 1997; Willot, 2015) is employed. Both discontinuous and smooth transitions in elastic stiffness at the matrix-inclusion (MI) interface are considered. In the context of both TD and PCD, a number of GFP- and FDD-based algorithms are developed. Among these, one based on so-called averaged-forward-backward-differencing (AFB) is shown to result in the greatest improvement in convergence rate. As it turns out, AFB is equivalent to the "rotated scheme" (R) of Willot (2015) in the context of TD. In the context of PCD, comparison of the performance and convergence behavior of AFB/R- and DGO-based algorithms shows that the former is more efficient than the latter for larger phase contrasts.

연구 동기 및 목표

• 비균질 재료에서 주기적 선형 탄성 경계가치문제를 해결하기 위한 스펙트럼 알고리즘을 개발하고 비교하기.
• 사다리꼴(TD) 및 조각별 상수(PCD) 두 가지 푸리에 급수 이산화 방법이 알고리즘의 수렴성과 효율성에 미치는 영향을 조사하기.
• 그린 함수 조절법(GFP)과 유한차분 이산화(FDD)가 TD 및 PCD 계획과 조합될 때의 성능 평가하기.
• 재료 불연속성과 높은 상대기계적 대비를 다룰 때 평균 전진-후진 미분(ABF) 방법과 이산 그린 연산자(DGO) 방법의 효과성 평가하기.
• 불연속적이고 매끄러운 강성 전이가 있는 정준 입자-기질 문제를 기준으로 알고리즘 성능 벤치마킹하기.

제안 방법

• 두 가지 푸리에 급수 이산화 계획을 사용: 사다리꼴(TD)은 푸리에 모드의 사다리꼴 적분에 기반하고, 조각별 상수(PCD)는 피적분함수의 조각별 상수 근사에 기반한다.
• 운동량 균형 방정식을 위한 고정점 반복 해법에서 수렴 속도를 향상시키기 위해 그린 함수 조절법(GFP)을 적용한다.
• 스펙트럼 방법에서 발생하는 기브스 오scillation과 앨리어싱 효과를 완화하기 위해 미분 연산자의 유한차분 이산화(FDD)를 통합한다.
• 평균 전진-후진 미분(ABF) 계획을 개발하였으며, 이는 TD 맥락에서 윌롯의 기울인 방법과 동일하다는 것이 입증되었다.
• 최근 에로 등(2019)이 제안한 이산 그린 연산자(DGO) 방법을 FDD 없이 PCD 프레임워크에 적용하기 위해 변형하였다.
• 불연속적이고 매끄러운 탄성 강성 전이가 있는 정준 입자-기질 단위세포를 사용하여 알고리즘 행동을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 TD 및 PCD 푸리에 급수 이산화 방법이 선형 탄성 BVP 해결에서 수렴성과 내구성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ2 TD 및 PCD 이산화 방법에 대해 GFP 기반 및 FDD 기반 알고리즘의 상대적 성능은 어떠한가?
• RQ3 특히 높은 상대기계적 대비에서 ABF 방법이 DGO 방법보다 수렴 속도와 효율성 측면에서 뛰어나게 되는가?
• RQ4 기질-입자 인터페이스에서 불연속적이고 매끄러운 강성 전이가 알고리즘 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 ABF 방법이 TD 맥락에서 윌롯의 기울인 방법과 동일한 것으로 확인된 바, 표준 방법에 비해 수렴 성능을 얼마나 향상시키는가?

주요 결과

• 평균 전진-후진 미분(ABF) 방법은 시험된 모든 알고리즘 중에서 수렴 속도 향상이 가장 크다.
• ABF 방법은 TD 맥락에서 윌롯의 기울인 방법(R)과 동일하며, 이는 기존에 알려진 효율성과 일치한다.
• 더 큰 상대기계적 대비에서, PCD 프레임워크 내에서 ABF 기반 알고리즘이 DGO 기반 알고리즘보다 더 효율적이다.
• PCD 기반 ABF 방법은 특히 고강성 대비가 있는 경우 DGO 방법에 비해 뛰어난 수렴 행동을 보인다.
• 기질-입자 인터페이스에서 불연속적이고 매끄러운 강성 전이 모두가 제안된 알고리즘에 의해 효과적으로 처리되며, ABF 방법은 두 경우 모두에서 뛰어난 내구성을 보였다.
• GFP와 FDD를 조합하여 사용함으로써 수렴 안정성과 속도가 크게 향상되었으며, 특히 불연속성이 존재할 경우 두드러진 효과가 있었다.