[논문 리뷰] Development of a unified high-order nonhydrostatic multi-moment constrained finite volume dynamical core: derivation of flux-form governing equations in the general curvilinear coordinate system

Xingliang Li, Chungang Chen외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 13.

Meteorological Phenomena and Simulations참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 곡면좌표계에서 고차수 비수압적 다중모멘트 제약 유한체적(MCV) 기반 대류핵을 위한 유량형 운동방정식을 유도하며, 구형 및 큐브형-구형 격자에서 정확한 대기 모델링을 가능하게 한다. 이 구성은 수직 및 비수직 시스템에서 계량 텐서, 크리스토펠 기호, 발산 연산자를 포함하며, 구형 극좌표계 및 큐브형-구형 기하학에 대해 명시적인 표현을 제공하여 좌표계 간 일관성을 보장한다. 특히 카르테시안 극한에서도 정확히 복원된다.

ABSTRACT

In the manuscript we have derived the flux-form atmospheric governing equations in the general curvilinear coordinate system which is used by a high-order nonhydrostatic multi-moment constrained finite volume (MCV) dynamical core, and given the explicit formulations in the shallow-atmosphere approximation. In general curvilinear coordinate x^i(i = 1,2,3), unlike the Cartesian coordinate, the base vectors are not constants either in magnitude or direction. Following the representations such as base vectors, vector and tensor and so on in general curvilinear coordinate, we can obtain the differential relations of base vectors, the gradient and divergence operator etc. which are the component parts of the atmospheric governing equation. Then we apply them in the two specific curvilinear coordinate system: the spherical polar and cubed-sphere coordinates that are adopted in high-order nonhydrostatic MCV dynamical core. By switching the geometrics such as the metric tensors (covariant and contravariant), Jacobian of the transformation, the Christoffel symbol of the second kind between the spherical polar and cubed-sphere coordinates, the resulting flux-form governing equations in the specific coordinate system can be easily achieved. Of course, the Cartesian coordinate can be recovered. Noted that the projection metric tensors like spherical polar system and Cartesian coordinate become simple due to orthogonal properties of coordinate.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 곡면좌표계에 적용 가능한 통합적 고차수 비수압적 대류핵을 개발하는 것.
• 기하학적 일관성과 보존 성질을 유지하는 일반 곡면좌표계에서의 유량형 운동방정식을 도출하는 것.
• 얕은 대기 및 깊은 대기 근사에서 모두 적용 가능한 구형 극좌표계 및 큐브형-구형 좌표계의 계량 텐서, 크리스토펠 기호, 발산 연산자에 대해 명시적인 구성표현을 제공하는 것.
• 특수한 경우에서 카르테시안 좌표계로 정확히 복원되며 수직성도 유지됨을 보장하는 것.
• 기하학적 정확성을 확보하는 고차수 유한체적 방법의 글로벌 대기 모델링 구현을 지원하는 것.

제안 방법

• 기저 좌표계에 독립적인 기하학적 보존 형태의 3차원 압축성 비수압적 오일러 방정식을 유도한다.
• 대응속도 성분과 계량 텐서 $G^{ij}$를 사용하여 일반 곡면좌표계에서 운동방정식을 표현한다.
• 크리스토펠 기호 $\Gamma_{jk}^i$를 포함한 곡면형 발산 연산자 $\frac{1}{\sqrt{G}}\frac{\partial}{\partial x^j}(\sqrt{G} T^{ij}) + \Gamma_{mk}^i T^{mk}$ 를 적용한다.
• 좌표 변환을 위해 자코비안 $\sqrt{G} = \det(G_{ij})^{1/2}$ 과 역계량 $G^{ij} = (G_{ij})^{-1}$ 를 계산한다.
• 매개변수 변환을 통해 구형 극좌표계 및 큐브형-구형 좌표계에서 계량 텐서, 크리스토펠 기호, 기하학적 항목에 대한 명시적 표현을 도출한다.
• 카르테시안 좌표계 복원 및 구형 시스템에서의 수직성 단순화를 통해 일관성 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 비수압적 대기 모델에 대해 일반 곡면좌표계에서 체계적으로 유량형 운동방정식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 구형 극좌표계 및 큐브형-구형 좌표계에서 계량 텐서, 크리스토펠 기호, 발산 연산자의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 특히 $G^{ij}\Gamma^k_{ij}$ 항은 얕은 대기와 깊은 대기 근사에서 어떻게 다를까?
• RQ4 이 구성이 단일 고차수 유한체적 프레임워크 내에서 카르테시안, 구형, 큐브형-구형 기하학을 통합할 수 있는가?
• RQ5 코리olis 힘은 곡면좌표계 내에서 대응속도 성분으로 어떻게 표현되는가?

주요 결과

• 대응속도 성분과 계량 텐서를 사용하여 일반 곡면좌표계에서의 유량형 운동방정식이 유도되었으며, 이는 보존성과 기하학적 일관성을 보장한다.
• 크리스토펠 기호 $\Gamma_{jk}^i$ 는 $\frac{1}{2}G^{im}(\partial_i G_{km} + \partial_k G_{jm} - \partial_m G_{jk})$ 를 통해 명시적으로 계산되어 정확한 기하학적 처리가 가능하다.
• 얕은 대기 근사에서 큐브형-구형 좌표계에서는 $G^{ij}\Gamma^k_{ij} = 0$ 이지만, 깊은 대기 경우에서는 반지름 성분에서 $(-2/r)$ 가 되어 수직 곡률 효과를 반영한다.
• 구형 극좌표계에서는 얕은 대기에서 $G^{ij}\Gamma^k_{ij} = \tan\varphi / R^2$ 이고, 깊은 대기에서는 $\tan\varphi / r^2 - 2/r$ 가 되어 반지름 의존성이 드러난다.
• 큐브형-구형 좌표계의 계량 텐서 $G_{ij}$ 는 변환 행렬 $M$ 을 통해 유도되며, $X = \tan(\xi)$, $Y = \tan(\eta)$, $\delta = \sqrt{1+X^2+Y^2}$ 를 이용해 $\overline{G}_{ij}$ 로 표현된다.
• 계량 항목이 사라질 때 카르테시안 좌표계로 복원되므로 일관성과 수직성 복원이 확인된다.