[논문 리뷰] DG coalgebras as formal stacks

Vladimir Hinich|ArXiv.org|1998. 12. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 0의 체 위에서 무한대의 비제로가 아닌 dg 코통수 코모듈러의 단순 복합 모델 범주 구조를 수립하며, Quillen의 1969년 2-감소 코모듈러에 대한 모델 구조를 일반화한다. 이는 dg 코모듈러와 dg 리 대수 사이의 수반 관계를 구축하여 그 동치의 호모토피 범주를 유도하며, dg 코모듈러를 그 탄젠트 리 대수가 유일하게 스택을 약한 동치에 대해 결정하는 형식 스택으로 해석할 수 있게 한다.

ABSTRACT

The category of unital (unbounded) dg cocommutative coalgebras over a field of characteristic zero is provided with a structure of simplicial closed model category. This generalizes the model structure defined by Quillen in 1969 for 2-reduced coalgebras. In our case, the notion of weak equivalence is structly stronger than that of quasi-isomorphism. A pair of adjoint functors connecting the category of coalgebras with the category of dg Lie algebras, induces an equivalence of the corresponding homotopy categories. The model category structure allows one to consider dg coalgebras as very general formal stacks. The corresponding Lie algebra is then interpreted as a tangent Lie algebra which defines the formal stack uniquely up to a weak equivalence. An example of the coalgebra of formal deformaions of a principal $G$-bundle on a scheme $X$ is calculated.

연구 동기 및 목표

• 특성 0의 체 위에서 무한대의 비제로가 아닌 단위를 가진 dg 코통수 코모듈러의 일반적인 경우로 Quillen의 2-감소 dg 코모듈러에 대한 모델 구조를 확장한다.
• dg 코모듈러 범주에서의 약한 동치의 개념을 정의하며, 이는 코호몰로지 동치보다 엄밀히 더 강력한 조건을 만족시킨다.
• dg 코모듈러와 dg 리 대수 사이의 수반 관계를 수립하여 그 호모토피 범주의 동치를 이끌어낸다.
• dg 코모듈러를 형식 스택으로 해석하며, 이에 대응하는 리 대수가 스택의 탄젠트 리 대수로 작용한다.
• 스키마 X 위의 주 G-_bundle의 형식적 변형의 dg 코모듈러를 명시적으로 계산한다.

제안 방법

• 특성 0의 체 위에서 단위를 가진 무한대의 비제로가 아닌 dg 코통수 코모듈러의 범주에 대해 단순 복합 모델 범주 구조를 구축한다.
• 이 모델 구조에서의 약한 동치를 정의하며, 이는 코바르 구성 이후 코호몰로지 동치를 유도하는 사상으로서 정의된다.
• 코바르 및 바르 구성법을 사용하여 dg 코모듈러와 dg 리 대수 사이의 수반 함자 쌍을 수립한다.
• 이 수반 관계가 대응하는 호모토피 범주의 동치를 이끌어내는 것을 증명한다.
• dg 코모듈러의 호모토피 이론을 활용하여 그들을 형식 스택으로 해석하며, 탄젠트 리 대수가 스택의 구조를 코딩한다.
• 구조군 G의 리 대수를 사용하여 스키마 X 위의 주 G-_bundle의 형식적 변형의 dg 코모듈러를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0의 체 위에서 무한대의 비제로가 아닌 dg 코통수 코모듈러의 범주에 대해 어떻게 모델 범주 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ2 dg 코모듈러의 범주에서 약한 동치와 코호몰로지 동치 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 dg 코모듈러와 dg 리 대수 사이의 수반 관계가 그 호모토피 범주의 동치를 유도할 수 있는가?
• RQ4 dg 코모듈러를 형식 스택으로 해석할 수 있는 정도는 어느 정도이며, 이 해석은 그 탄젠트 리 대수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 스키마 X 위의 주 G-_bundle의 형식적 변형을 지배하는 dg 코모듈러의 명시적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 특성 0의 체 위에서 단위를 가진 무한대의 비제로가 아닌 dg 코통수 코모듈러의 범주에 대해 단순 복합 모델 범주 구조가 수립된다.
• 이 모델 구조에서의 약한 동치는 코호몰로지 동치보다 엄밀히 더 강력하여, 호모토피 이론이 유도 범주적 관점과 구별됨을 보여준다.
• dg 코모듈러와 dg 리 대수 사이의 수반 관계가 그 호모토피 범주의 동치를 이끌어낸다.
• dg 코모듈러가 형식 스택을 나타내며, 관련된 dg 리 대수가 그 스택을 약한 동치에 대해 유일하게 결정하는 탄젠트 리 대수로 작용함을 보였다.
• 스키마 X 위의 주 G-_bundle의 형식적 변형의 dg 코모듈러는 명시적으로 계산되었으며, 그 결과는 G의 리 대수의 코바르 구성으로 나타난다.
• dg 코모듈러에 대응하는 형식 스택은 그 탄젠트 리 대수에 의해 약한 동치에 대해 유일하게 결정된다.