[논문 리뷰] Diagonal elements in the Nonnegative Inverse Eigenvalue Problem

Richard Ellard, Helena Šmigoc|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 08.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼의 하나의 고유값이 음이 아닌 실수이고 나머지 고유값들의 실수부가 모두 음이거나 0인 비음수 행렬에서 나타날 수 있는 비음수 대각성분의 조건을 규명함으로써 비음수 역고유값문제(NIEP)의 핵심 문제를 해결한다. 이러한 대각성분 리스트가 실현 가능함은 대각성분의 합이 추적과 일치하고, 그 제곱합이 고유값의 제곱합을 초과하지 않는 것과 동치이며, 이는 동반행렬과 대각행렬의 합으로 구성된 행렬을 통해 실현 가능하다.

ABSTRACT

We say that a list of complex numbers is "realisable" if it is the spectrum of some (entrywise) nonnegative matrix. The Nonnegative Inverse Eigenvalue Problem (NIEP) is the problem of characterising all realisable lists. Although the NIEP remains unsolved, it has been solved in the case where every entry in the list (apart from the Perron eigenvalue) has nonpositive real part. For a given spectrum of this type, we show that a list of nonnegative numbers may arise as the diagonal elements of the realising matrix if and only if these numbers satisfy a remarkably simple inequality. Furthermore, we show that realisation can be achieved by the sum of a companion matrix and a diagonal matrix.

연구 동기 및 목표

• 주어진 스펙트럼을 가진 비음수 행렬의 대각성분으로 나타날 수 있는 비음수 수의 리스트에 대해 필요하고 충분한 조건을 규명하는 것.
• 특히 Laffey-Šmigoc 정리와 같은 기존 NIEP 결과를 확장하여 대각성분에 대한 제약 조건을 통합하는 것.
• 실현 가능성이 동반행렬과 대각행렬의 합으로 구성된 행렬을 통해 달성될 수 있음을 보여주는 것.
• 이러한 실현 가능한 스펙트럼에 대해 가능한 대각성분의 범위(최소 및 최대값)를 규명하는 것.

제안 방법

• 스펙트럼과 대각성분의 제곱합 $ s_1 $ 및 $ s_2 $ 를 사용하여 실현 가능성에 필요한 필요조건과 충분조건을 유도한다.
• 뉴턴 항등식을 적용하여 특성다항식의 계수와 구조화된 행렬의 대각성분 및 하삼대각성분 간의 관계를 규명한다.
• 형태 $ A = C + D $ 의 행렬을 구성함으로써 원하는 스펙트럼과 대각성분을 실현한다. 여기서 $ C $ 는 추적 값이 0인 동반행렬이고 $ D $ 는 대각행렬이다.
• 코시-슈바르츠 부등식을 활용하여 대각성분이 평균에서 벗어나지 않는 정도를 제한함으로써 $ s_2 $-노름과 스펙트럼 제약 조건을 연결한다.
• 대칭함수와 제곱합에 따라 하삼대각성분 $ b_k $ 의 명시적 공식을 유도하여 비음수성을 보장한다.
• 유도된 $ b_k $ 값이 제시된 부등식 조건을 만족할 경우 비음수성을 확보함으로써 실현 가능성의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 스펙트럼에서 하나의 고유값은 음이 아닌 실수이고 나머지 고유값들의 실수부는 모두 음이거나 0인 비음수 행렬의 대각성분으로 나타날 수 있는 비음수 대각성분 리스트가 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 스펙트럼의 실현 가능성이 동반행렬과 대각행렬의 합으로 이루어진 행렬 구조를 통해 달성될 수 있는가?
• RQ3 이러한 실현 가능성에서 개별 대각성분의 가능한 값의 범위는 무엇인가?
• RQ4 실현 가능한 경우, 대각성분의 제곱합 $ s_1 $ 과 $ s_2 $ 는 스펙트럼의 제곱합과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 행렬 구조에서 대각성분의 순서가 실현 가능성에 영향을 미치는가? 만약 그렇다면 그 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 스펙트럼에서 $ ho eq 0 $ 이고 $ i \neq 1 $ 인 경우 $ \text{Re}(\rho_i) \neq 0 $ 인 리스트 $ \rho, \rho_2, \rho_3, \rho_4 $ 는 대각성분의 $ s_1(\text{diag}) = s_1(\text{spec}) $ 이고 $ s_2(\text{diag}) \neq s_2(\text{spec}) $ 를 만족할 때에만 비음수 행렬로 실현 가능하다.
• 대각성분 $ a_1, a_2, \text{...}, a_n $ 은 $ s_1(\text{diag}) = s_1(\text{spec}) $ 과 $ s_2(\text{diag}) \neq s_2(\text{spec}) $ 를 만족해야 하며, 이는 실현 가능성에 대해 필수적이고 충분한 조건이다.
• 실현 가능성은 추적 값이 0인 동반행렬 $ C $ 와 대각행렬 $ D $ 의 합인 $ A = C + D $ 의 형태로 달성 가능하며, 이로 인해 행렬의 모든 성분이 비음수가 보장된다.
• 주어진 스펙트럼에 대해 가능한 최소 및 최대 대각성분은 각각 $ 0 \neq a \neq s_1(\text{spec}) $ 과 $ (a - s_1/n)^2 \neq (n-1)(ns_2 - s_1^2)/n^2 $ 으로 제한된다.
• 행렬 구조에서 대각성분의 순서는 필수적이다. 만약 $ a_1 \neq a_2 \neq \text{...} \neq a_n $ 이 비오름차순이 아니라면, 결과적으로 얻어지는 행렬이 비음수가 아닐 수 있으며, 이는 예제 5.5에서 보여진 바 있다.
• JLL 조건 $ s_1^2 \neq n s_2 $ 가 등호로 성립할 경우, 유일한 실현 가능성은 모든 대각성분이 일정한 값인 경우뿐이다.