[논문 리뷰] Diagonal Stability of Discrete-time $k$-Positive linear Systems with Applications to Nonlinear Systems

Chengshuai Wu, Michael Margaliot|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 03.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $k$-양성 선형 시스템에서의 대각 안정성에 대한 必要 조건으로 이산시간 $k$-대각 안정성(discrete-time $k$-diagonal stability)을 도입한다. 이는 기존에 잘 알려진 결과인 안정한 양성 시스템($k=1$)은 항상 대각 안정성을 갖는다는 것을 일반화한 것이다. 본 논문은 이 새로운 개념이 육각 곱(wedge products)과 복합 행렬(compound matrices)을 통해 이산시간 비선형 시스템의 안정성 분석을 가능하게 하며, 이는 이전 결과를 $k=1$의 경우를 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

A linear dynamical system is called $k$-positive if its dynamics maps the set of vectors with up to $k-1$ sign variations to itself. For $k=1$, this reduces to the important class of positive linear systems. Since stable positive linear time-invariant (LTI) systems always admit a diagonal quadratic Lyapunov function, i.e. they are diagonally stable, we may expect that this holds also for stable $k$-positive systems. We show that, in general, this is not the case both in the continuous-time (CT) and discrete-time (DT) case. We then focus on DT $k$-positive linear systems and introduce the new notion of DT $k$-diagonal stability. It is shown that this is a necessary condition for standard DT diagonal stability. We demonstrate an application of this new notion to the analysis of a class of DT nonlinear systems.

연구 동기 및 목표

• 안정한 $k$-양성 선형 시간 불변(LTI) 시스템이 일반화된 $k=1$의 경우(즉, 양성 시스템)에서 알려진 결과를 따르는 대각 안정성을 갖는지 조사한다.
• $k$-양성 시스템에 대해 새로운 안정성 개념인 이산시간 $k$-대각 안정성을 정의하고 분석한다.
• 순환 동역학을 갖는 비선형 시스템의 점근적 행동을 분석하기 위해 육각 곱과 복합 행렬을 이용한 기하학적 프레임워크를 수립한다.
• 특정 이산시간 비선형 시스템에 대해 $k$-대각 안정성이 보장할 수 있는 전역 점근적 안정성을 입증한다. 이는 고전적인 대각 안정성 접근법을 확장한다.

제안 방법

• 최대 $k-1$개의 부호 변화를 갖는 벡터들을 동일한 집합으로 매핑하는 시스템으로서 $k$-양성 시스템의 개념을 도입한다.
• 행렬 $A$의 $k$번째 복합 행렬인 $A^{(k)}$에 대해 $(A^{(k)})^T D A^{(k)} \prec D$ 를 만족하는 대각 행렬 $D \succ 0$ 가 존재함으로써 이산시간 $k$-대각 안정성을 정의한다.
• 육각 곱을 사용하여 $k$개 상태 벡터에 의해 생성된 평행육면체의 $k$차원 부피(내용)를 표현한다.
• 상태 벡터 $y(j) = \wedge_{i=1}^k x(j, a^i)$ 를 이용해 라파노프 함수 $V(y(j)) = y(j)^T D y(j)$ 를 구성하여 $k$-부피의 변화를 분석한다.
• $A$ 가 $k$-대각 안정성일 경우 $V(y(j))$ 가 단조 감소함을 증명함으로써 $k$-부피가 0으로 수렴함을 보인다.
• 이 프레임워크를 이산시간 비선형 시스템 $x(j+1) = A\phi(x(j))$ 에 적용하여, $k$-대각 안정성과 $\

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 안정한 이산시간 $k$-양성 선형 시간 불변(LTI) 시스템이 대각 안정성을 갖는가? 이는 $k=1$의 경우에서 안정한 양성 시스템이 항상 대각 안정성을 갖는다는 기존 결과를 일반화하는가?
• RQ2 적절한 $k$-양성 시스템에 대한 대각 안정성의 일반화는 무엇이며, 기존의 대각 안정성과의 관계는 어떠한가?
• RQ3 육각 곱을 통한 $k$-부피의 기하학적 구조는 순환 동역학을 갖는 비선형 시스템의 안정성 분석에 활용될 수 있는가?
• RQ4 행렬 $A$ 의 $k$-대각 안정성이 비선형 시스템 $x(j+1) = A\phi(x(j))$ 의 전역 점근적 안정성을 유도하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 복합 행렬 $A^{(k)}$ 와 그 스펙트럼 성질은 $k$-부피 동역학의 안정성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• $k>1$ 인 안정한 $k$-양성 시스템은 이산 시간에서 반드시 대각 안정성을 갖는 것은 아니며, 이는 $k=1$의 결과가 직접 일반화되지 않음을 보여준다.
• 본 논문은 $k$-양성 시스템에서 표준 대각 안정성의 필요 조건으로 이산시간 $k$-대각 안정성을 도입한다.
• 일부 이산시간 비선형 시스템에 대해 $\