[논문 리뷰] Diffeomorphism groups of critical regularity

Sang-Hyun Kim, Thomas Koberda|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 47인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원주 및 구간의 미분형식군에서 임계 정규성 α에서 유한 생성된 부분군의 동형 유형의 연속체가 존재함을 증명하며, 일부 군이 더 높은 정규성의 미분형식군에 임베드될 수 없음을 보여준다. 이러한 부분군들이 단순한 교환자 부분군을 가짐을 증명하고, 호더 연속성과 분할 성질을 포함한 역학적 및 해석적 기법을 사용하여 매끄럽게 만들 수 없는 장애물과 임베드 불가능성 결과를 제시한다.

ABSTRACT

Let $M$ be the circle or a compact interval, and let $α=k+τ\ge1$ be a real number such that $k=\lfloor α floor$. We write $\mathrm{Diff}_+^α(M)$ for the group of $C^k$ diffeomorphisms of $M$ whose $k^{th}$ derivatives are Hölder continuous with exponent $τ$. If $α\ge1$, we prove that there exists a finitely generated subgroup $G_α\le\mathrm{Diff}_+^α(M)$ with the property that $G_α$ admits no injective homomorphisms into $\mathrm{Diff}_+^β(M)$ for all $β>α$. If $α>1$, we also show the dual result: there exists a finitely generated group $H_α\le\bigcap_{β

연구 동기 및 목표

• M = S^1 또는 I에 대해 임계 정규성 α에서 미분형식군 $\operatorname{Diff}_+^\alpha(M)$ 내의 유한 생성 부분군의 대수적 구조를 규명하는 것.
• 이러한 부분군이 $\bigcup_{\beta > \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$로의 임베딩이 가능한지 조사하는 것.
• $\mathscr{G}^\alpha(M) \setminus \mathscr{G}^{\alpha+\varepsilon}(M)$ 내에 가산 단순군이 존재하는지 탐색하고, 이들이 낮은 정규성 군에 임베드되지 않는지 조사하는 것.
• 결과를 이용하여 코디멘션 일치 분할의 매끄러움성과 연속적인 미분형식군 간의 준동형사상의 구조에 응용하는 것.
• $\operatorname{Diff}_+^1(M)$의 유한 생성 부분군의 집합이 유한 자유 곱에 대해 닫혀 있지 않음을 보이는 것.

제안 방법

• 확률적 역학적 행동과 느린 진전 보조정리를 이용하여 $\operatorname{Diff}_+^{k,\tau}(I)$의 역학적으로 빠른 부분군을 구성하는 것.
• 분할 성질과 $C^\infty$ 미분형식군의 작용을 이용하여 교환자 군의 단순성을 확립하는 것.
• 오목한 모듈러스 $\mu$를 사용하여 $\bigcap_{\beta < \alpha} \operatorname{Diff}_+\beta(M)$를 $C^{k,\mu}$ 군들의 합집합으로 특성화하는 것.
• 코펠의 보조정리와 데니조의 정리를 적용하여 $\operatorname{Diff}_+^\alpha(M)_0$에서 중심이 자명하고 애매한 몫이 아벨임을 보이는 것.
• 메이어의 정리를 활용하여 일부 군이 완전함을 보이고, 따라서 교환자 부분군이 단순함을 보이는 것.
• $\alpha \neq 2$일 때 $C^1$-안정성과 성질 (T)에서 유도된 장애물 결과를 이용하여 임베드 불가능성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k \geq 1일 때 $\mathscr{G}^k(M) \setminus \mathscr{G}^{k+1}(M)$는 유한 생성 군을 포함하는가?
• RQ2 \alpha \geq 1일 때 $\mathscr{G}^\alpha(M) \setminus \mathscr{G}^{\alpha+\varepsilon}(M)$ 내에 가산 단순군이 존재할 수 있는가?
• RQ3 $\alpha \neq 2$일 때 $\operatorname{Diff}_+^\alpha(S^1) \to \bigcup_{\beta > \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(S^1)$로의 비자명한 준동형사상이 존재하는가?
• RQ4 유한 생성 부분군이 $\operatorname{Diff}_+^1(M)$에서 $\bigcup_{\beta > 1} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$로의 임베딩에 실패할 수 있는가?
• RQ5 교환자 부분군의 단순성은 다각형 위의 군 작용의 매끄러움성을 방해하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 임계 정규성 α에서 $\bigcup_{\beta > \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$로의 단사 준동형사상이 존재하지 않는 유한 생성 부분군 $G \leq \operatorname{Diff}_+^\alpha(M)$의 동형 유형이 연속체가 존재한다.
• 모든 $\beta < \alpha$에 대해 $\operatorname{Diff}_+^\beta(M)$로의 단사 준동형사상이 존재하지 않는 $\bigcap_{\beta < \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$ 내의 유한 생성 부분군 $G$의 동형 유형이 연속체가 존재한다.
• 구성된 부분군의 교환자 부분군은 단순하며, 이는 임베드 불가능성과 몫의 단순성을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• $\alpha \geq 1$일 때 $\operatorname{Diff}_+^\alpha(S^1)_0$는 자명한 중심을 가지며, 모든 진부분군은 아벨이다; $\alpha \neq 2$이면 군은 단순하다.
• $\alpha > 3$일 때 $\bigcap_{\beta < \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(S^1)_0$는 단순하며, 그 진부분군은 아벨이다.
• $\operatorname{Diff}_+^1(M)$의 유한 생성 부분군의 집합은 유한 자유 곱에 대해 닫혀 있지 않으며, 이는 반례를 구성하여 보여진다.