[논문 리뷰] Difference between level statistics, ergodicity and localization transitions on the Bethe lattice

Giulio Biroli, Ana C. Ribeiro-Teixeira외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 30.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 1인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 베티 격자에서 상호작용이 없는 불순물 전자들이 국소화 상태와 비국소화 상태 사이의 새로운 중간 상을 나타냄을 보여주며, 이는 비국소화이지만 비에르고딕임을 특징으로 하며, GOE 대신 포아송 수준 통계를 보임. 유도된 고무체의 통계역학과 수치적 분석을 통해 수준 통계, 고유상태 성질, 국소 상태 밀도를 분석한 결과, 국소화 전이 이하의 불순물 강도에서 에르고딕성으로의 전이가 발생함을 규명하였으며, 이는 유도된 고무체 문제에서의 고결-유리 전이와 관련됨. 이는 고차원에서 국소화 전이의 본질적 변화를 시사함.

ABSTRACT

We show that non-interacting disordered electrons on a Bethe lattice display a new intermediate phase which is delocalized but non-ergodic, i.e. it is characterized by Poisson instead of GOE statistics. The physical signature of this phase is a very heterogenous transport that proceeds over a few disorder dependent paths only. We show that the transition to the usual ergodic delocalized phase, which takes place for a disorder strength smaller than the one leading to the localization transition, is related to the freezing-glass transition of directed polymers in random media. The numerical study of level and eigenstate statistics, and of the singular properties of the probability distribution of the local density of states all support the existence of this new intermediate phase. Our results suggest that the localization transition may change nature in high dimensional systems.

연구 동기 및 목표

• 고차원 시스템, 특히 베티 격자에서 국소화 전이의 성격을 조사함. 이는 기존 이론이 붕괴할 수 있는 영역임.
• 수준 통계(GOE 대비 포아송)와 에르고딕성이 국소화 전이와 일치하는지 오랫동안 애매하게 여겨진 문제를 해결함.
• 불순물 매질에서의 유도된 고무체 문제의 고결-유리 전이와 국소화 전이 간의 연결 고리를 탐색함.
• 통계역학과 수치 시뮬레이션을 통해 비국소화이지만 비에르고딕인 중간 상을 특성화함.
• 특히 희귀한 주요 경로의 역할을 고려하여 이 새로운 상에서의 운반 특성과 고유상태의 구조를 검토함.

제안 방법

• 베티 격자에서의 국소화 전이를 분석하기 위해 복제 기법과 캐비티 방법을 사용하여, 불순물 잠재력 내의 유도된 고무체 문제로 문제를 매핑함.
• 수송 및 국소화 성질을 재귀 관계를 통해 연구하기 위해, 그린 함수의 허수부인 $ \text{Im}G_{i\to j} $의 생성함수를 사용함.
• 분포 꼬리의 특성을 기술하는 매개변수 $ s $ 에 따라 자유 에너지 $ \tilde{\theta}(s) $ 와 그 의존성을 분석하여 비에르고딕성을 탐지함.
• 비에르고딕 단계와 에르고딕 단계를 구분하기 위해 비례 제곱 반복 비율(IPR)과 수준 통계(GOE 대비 포아송)를 계산함.
• 유한한 $ \tilde{\theta} $ 를 사용하여 재귀 방정식의 수치 시뮬레이션을 수행하여, 손실과 분해조화의 전파를 부피 내에서 연구함.
• 중간 상에서 $ \text{Im}G_{i\to j} $ 의 확률 분포를 검토하여, 힘줄 꼬리와 희귀한 공진 사건을 탐지함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베티 격자에서의 국소화 전이가 GOE에서 포아송으로의 수준 통계 전이와 일치하는가?
• RQ2 확장된 파동함수에도 불구하고 포아송 통계를 보이는 비국소화이지만 비에르고딕 단계가 존재할 수 있는가?
• RQ3 에르고딕성으로의 전이가 $ W_T < W_L $ 에서 발생하며, 이는 국소화 전이보다 낮은 불순물 강도에서 발생하는가? 그 물리적 기원은 무엇인가?
• RQ4 중간 상에서 운반 거동은 에르고딕 상과 국소화 상과 어떻게 다를까?
• RQ5 국소화 전이와 불순물 매질에서의 유도된 고무체 문제의 고결-유리 전이 간의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 베티 격자에서 에르고딕 비국소화 상과 완전히 국소화된 상 사이에 새로운 중간 상이 존재하며, 이는 포아송 수준 통계에 의해 입증되며 비국소화이지만 비에르고딕임.
• 에르고딕성으로의 전이는 $ W_T < W_L $ 에서 발생하며, 이는 유도된 고무체 문제에서의 고결-유리 전이에 해당하며, $ \tilde{\theta}(s) $ 가 $ s^* < 2 $ 에서 날카운 꼬리(cusp)를 형성함.
• 중간 상에서 $ \text{Im}G_{i\to j} $ 를 구성하는 경로의 합은 유한한 수의 불순물 의존 경로에 의해 지배되며, 이는 매우 비균일한 운반 거동을 초래함.
• 분포 $ \text{Im}G_{i\to j} $ 는 힘줄 꼬리를 보이며, 이는 깊이로 갈수록 크기가 증가하는 희귀한 큰 공진을 나타냄.
• 대부분의 부피 내에서 $ \text{Im}G_{i\to j} $ 는 유한하게 유지되지만, $ \text{exp}(\text{avg}[\text{log} \text{Im}G_{i\to j}]) $ 는 작은 유한한 값으로 수렴하여 지속적이지만 약한 손실을 나타냄.
• $ W = W_L $ 에서 $ s^* = 1 $ 이며, 국소화 전이와 일치하며, $ \tilde{\theta}(s) $ 는 $ s > 1 $ 에서 0이 되어 국소화의 시작을 확인함.