[논문 리뷰] Different Statistical Future of Dynamical Orbits over Expanding or Hyperbolic Systems (I): Empty Syndetic Center

Yiwei Dong, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 19.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 54인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 확장성 또는 하이퍼볼릭 시스템에서 공집합인 심슨트릭 중심을 가진 궤도를 분류하기 위해 상하 자연 밀도 및 바나흐 밀도를 사용하는 통계적 프레임워크를 제안한다. 이는 12개의 서로 다른 통계적 구조가 존재하며, 각각이 최대 위상 엔트로피를 가지며, 비재귀적, 측도 0 집합이지만 강력한 동역학적 복잡성을 드러냄을 보여준다.

ABSTRACT

In the theory of dynamical systems, a fundamental problem is to study the asymptotic behavior of dynamical orbits. Lots of different asymptotic behavior have been learned including different periodic-like recurrence such periodic and almost periodic, the level sets and irregular sets of Birkhoff ergodic avearge, Lyapunov expoents. In present article we use upper and lower natural density, upper and lower Banach density to differ statistical future of dynamical orbits and establish several statistical concepts on limit sets, in particular such that not only different recurrence are classifiable but also different non-recurrence are classifiable. In present paper we mainly deal with dynamical orbits with empty syndetic center and show that twelve different statistical structure over expanding or hyperbolic dynamical systems all have dynamical complexity as strong as the dynamical system itself in the sense of topological entropy. Moreover, multifractal analysis on various non-recurrence and Birkhoff ergodic averages are considered together to illustrate that the non-recurrent set has rich and colorful asymptotic behavior from the statistical perspective, although the non-recurrent set has zero measure for any invariant measure from the probabilistic perspective. Roughly speaking, on one hand our results describe a world in which there are twelve different predictable order in strongly chaotic systems but also there are strong chaos in any fixed predictable order from the viewpoint of dynamical complexity on full topological entropy; and on other hand we find that various asymptotic behavior such as (non-)recurrence and (ir)regularity from differnt perspecitve survive togother and display strong dynamical complexity in the sense of full topological entropy. In this process we obtain two powerful ergodic properties on entropy-dense property and saturated property.

연구 동기 및 목표

• 비재귀적 및 비정규 집합을 포함한 다양한 점근적 행동 유형을 통계적 밀도를 사용하여 분류하기.
• 확장성 또는 하이퍼볼릭 시스템에서 공집합인 심슨트릭 중심을 가진 궤도의 동역학적 복잡성 분석하기.
• 불변 측도 하에서 측도 0이지만 통계적으로 풍부한 비재귀 집합이 위상적 복잡성과 어떻게 조화를 이룰 수 있는지 설명하기.
• 극한 집합을 이해하기 위해 엔트로피-밀도 및 포화 성질과 같은 새로운 에르고딕 성질 설정하기.
• 비재귀 행동조차도 혼돈 시스템에서 최대 위상 엔트로피를 가지며 최대 동역학적 복잡성을 나타냄을 입증하기.

제안 방법

• 상하 자연 밀도 및 상하 바나흐 밀도를 사용하여 동역학 궤도의 통계적 구조 정의하기.
• 통계적 재귀성 및 비재귀성 패tern 기반으로 극한 집합의 분류 체계 도입하기.
• 비정규적 및 비재귀적 행동을 포착하기 위해 비르호프 에르고딕 평균과 리아푸노프 지수의 다중분포적 구조 분석하기.
• 위상 엔트로피를 동역학적 복잡성 측도로 사용하여 궤도의 통계적 구조 비교하기.
• 극한 집합의 공집합 심슨트릭 중심에 적용 가능한 두 가지 새로운 에르고딕 성질인 엔트로피-밀도 및 포화 성질 설정하기.
• 이 도구들을 적용하여 시스템 내 12개의 통계적 구조가 모두 최대 위상 엔트로피를 달성함을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도 기반 측정을 사용하여 동역학 궤도의 다양한 재귀성 및 비재귀성 유형을 어떻게 통계적으로 분류할 수 있는가?
• RQ2 확장성 또는 하이퍼볼릭 시스템에서 공집합인 심슨트릭 중심을 가진 궤도의 동역학적 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 불변 측도 하에서 측도 0이지만 여전히 풍부한 통계적 및 위상적 복잡성을 보일 수 있는가?
• RQ4 비르호프 평균과 리아푸노프 지수의 다중분포적 구조는 궤도의 통계적 분류와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 공집합 심슨트릭 중심을 가진 시스템에서 어떤 새로운 에르고딕 성질이 도출되며, 이는 위상 엔트로피와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 확장성 또는 하이퍼볼릭 시스템에서 공집합인 심슨트릭 중심을 가진 궤도에는 12개의 서로 다른 통계적 구조가 존재한다.
• 이 12개의 통계적 구조 각각이 최대 위상 엔트로피를 가지며, 최대 동역학적 복잡성을 나타낸다.
• 비재귀 집합은 어떤 불변 측도 하에서도 측도 0이지만, 통계적 관점에서 풍부하고 다채로운 점근적 행동을 보인다.
• 비르호프 평균과 리아푸노프 지수의 다중분포적 분석은 비재귀 영역에서 복잡하고 균일하지 않은 분포를 드러낸다.
• 엔트로피-밀도 및 포화 성질은 공집합 심슨트릭 중심을 가진 극한 집합 분석에 강력한 도구로 입증된다.
• 결과적으로 강력한 혼돈이 고정된 예측 가능한 통계적 질서 내에서도 지속되며, 모든 구조에서 최대 위상 엔트로피가 확인됨을 보여준다.