[논문 리뷰] Different Strategies for Optimization Using the Quantum Adiabatic Algorithm

Elizabeth Crosson, Edward Farhi외 3명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 7인용 수 69

한 줄 요약

이 논문은 20 큐비트의 딱딱한 MAX 2-SAT 인스턴스에서 양자 어드아바틱 알고리즘(QAA)의 성공 확률을 향상시키기 위한 세 가지 전략을 조사한다. 진화 시간을 단축하고, 드라이버 해밀토니안의 자극 상태에서 초기화하며, 진화 중간에 무작위 국소 해밀토니안을 추가함으로써 저자들은 표준 QAA 대비 최대 1000배 높은 성공 확률 향상을 달성한다. 이는 딱딱한 인스턴스에서 비어드아바틱 경로가 전통적인 어드아바틱 진화를 능가할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We present the results of a numerical study, with 20 qubits, of the performance of the Quantum Adiabatic Algorithm on randomly generated instances of MAX 2-SAT with a unique assignment that maximizes the number of satisfied clauses. The probability of obtaining this assignment at the end of the quantum evolution measures the success of the algorithm. Here we report three strategies which consistently increase the success probability for the hardest instances in our ensemble: decreasing the overall evolution time, initializing the system in excited states, and adding a random local Hamiltonian to the middle of the evolution.

연구 동기 및 목표

• 20 큐비트에서 MAX 2-SAT의 가장 딱딱한 인스턴스에서 양자 어드아바틱 알고리즘(QAA)의 성능을 규명하고 향상시키기.
• 비어드아바틱 전략(예: 더 빠른 진화, 전통적이지 않은 초기 상태)이 표준 어드아바틱 진화를 능가하는지 테스트하기.
• 어드아바틱 경로 중간에 무작위 국소 해밀토니안을 추가함으로써 성공 확률과 스펙트럼 갭 역학에 미치는 영향 평가하기.
• 이 전략들이 딱딱한 인스턴스 전반에 일반화되는지, 또는 작은 시스템 크기의 산물인지 확인하기.
• 관측된 향상이 저수준의 수치적 오류 때문이 아닌지 확인하기 위해 동일한 큐비트 수에서 알려진 딱딱한 문제(Grover 검색)에서 테스트하기.

제안 방법

• 202,078개의 무작위 20 큐비트 MAX 2-SAT 인스턴스를 생성하고, 평균장 근사법을 사용해 T=100일 때 성공 확률 <10⁻⁴인 경우를 필터링하여 딱딱한 인스턴스 선별.
• H(t) = (1−t/T)HB + (t/T)HP에 대해 시간에 따라 변하는 슈뢰딩거 방정식의 정확한 수치 적분을 수행하여 전체 QAA 진화 분석.
• 세 가지 전략을 구현: (1) 어드아바틱 임계값 이하로 총 진화 시간 T를 단축, (2) HB의 첫 번째 자극 상태의 무작위 중첩에서 초기화, (3) t=T/2에서 무작위 국소 해밀토니안 추가.
• 경로 외란에 대해 세 가지 유형을 탐색: 스토쿠아스틱, 복소수, 대각선 무작위 국소 항목으로, 각각 진화 중간에 적용.
• 진화 전반에 걸쳐 기본 상태와 첫 번째 자극 상태 사이의 최소 스펙트럼 갭 g_min을 계산하여 성공 확률과 연관시키기.
• 20 큐비트에서 Grover 검색 문제를 대상으로 결과를 검증하여, 이 전략들이 시간이 지남에 따라 지수적으로 증가하는 문제에서 성능 향상을 이끌 수 있는지 테스트하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어드아바틱 정리의 예측와는 반대로, 총 진화 시간 T를 단축시키는 것이 딱딱한 MAX 2-SAT 인스턴스에서 QAA의 성공 확률을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 드라이버 해밀토니안 HB의 자극 상태 중첩에서 초기화하는 것이 표준 기본 상태 초기화보다 더 높은 성공 확률을 유도하는가?
• RQ3 어드아바틱 경로 중간에 무작위 국소 해밀토니안 항목을 추가함으로써 에너지 갭의 구조를 수정하여 성공 확률을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 관측된 향상은 더 큰 스펙트럼 갭 때문인가, 아니면 비어드아바틱 진화에서 발생하는 다른 역학적 효과 때문인가?
• RQ5 이 전략들은 다른 딱딱한 문제로 일반화되는가, 아니면 작은 큐비트 수에서 딱딱한 MAX 2-SAT 인스턴스의 구조에 특화된 것인가?

주요 결과

• 모든 137개의 딱딱한 인스턴스에서 더 짧은 진화 시간에서 성공 확률이 높게 나타났으며, 한 인스턴스는 T=12일 때 P=0.05를 기록한 반면 T=100일 때는 P=5×10⁻⁵에 그쳐 1000배 향상된 결과를 보였다.
• HB의 첫 번째 자극 상태의 무작위 중첩에서 초기화함으로써 대부분의 딱딱한 인스턴스에서 평균 성공 확률이 약 0.05로 향상되었으며, 이는 이론적 상한에 가까워졌다.
• 스토쿠아스틱 케이스에서 무작위 국소 해밀토니안을 추가한 것이 가장 자주 성공 확률을 향상시켰고, 복소수 케이스는 가장 높은 확률로 근접 단일 확률을 달성했다.
• 경로 외란의 대각선 케이스는 결과의 분포가 가장 넓었으며, 성공 확률을 감소시키는 비용이 상당히 존재하는 것으로 나타나, 외란의 구조에 민감함을 보였다.
• 더 큰 최소 스펙트럼 갭 g_min과 높은 성공 확률 사이에 강한 상관관계가 관찰되었으며, 특히 최고 성능을 보인 경로 변경 실험에서 두드러졌다.
• 이 전략들은 20 큐비트에서 Grover 검색 문제에서는 성공 확률 향상을 이루지 못했으며, 이는 이 향상이 딱딱한 MAX 2-SAT 인스턴스의 구조에 특화된 것이며 일반적인 알고리즘 향상은 아니라는 것을 확인했다.