[논문 리뷰] Differentiability of non-archimedean volumes and non-archimedean Monge-Ampère equations (with an appendix by Robert Lazarsfeld)

José Ignacio Burgos Gil, Walter Gubler외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 05.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 35인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 완비 이산적으로 값이 주어진 체 위의 프로젝티브 다양체 위의 선다발에 대한 연속적인 준양성 메트릭에서 비아르키메데스 체적의 미분 가능성에 대해 증명하며, 도함수는 비아르키메데스 몽체–암페르 측도에 대한 적분으로 주어진다고 보여준다. 이는 콘스테비치와 츄켈린크의 추측을 확인하고, 0 특성수에서 비아르키메데스 몽체–암페르 방정식의 해가 존재함을 보일 때의 대수성 가정 $(\dagger)$를 제거한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a normal projective variety over a complete discretely valued field and $L$ a line bundle on $X$. We denote by $X^ extrm{an}$ the analytification of $X$ in the sense of Berkovich and equip the analytification $L^ extrm{an}$ of $L$ with a continuous metric $\| \ \|$. We study non-archimedean volumes, a tool which allows us to control the asymptotic growth of small sections of big powers of $L$. We prove that the non-archimedean volume is differentiable at a continuous semipositive metric and that the derivative is given by integration with respect to a Monge-Ampère measure. Such a differentiability formula had been proposed by M. Kontsevich and Y. Tschinkel. In residue characteristic zero, it implies an orthogonality property for non-archimedean plurisubharmonic functions which allows us to drop an algebraicity assumption in a theorem of S. Boucksom, C. Favre and M. Jonsson about the solution to the non-archimedean Monge-Ampère equation. The appendix by R. Lazarsfeld establishes the holomorphic Morse inequalities in arbitrary characteristic.

연구 동기 및 목표

• 비아르키메데스 체적이 연속적인 준양성 메트릭에서 미분 가능함을 확립하는 것.
• 체적 함수의 도함수가 비아르키메데스 몽체–암페르 측도에 대한 적분으로 주어진다는 것을 증명하는 것.
• 비아르키메데스 몽체–암페르 방정식의 해가 존재함을 보일 때의 대수성 가정 $(\dagger)$를 제거하는 것.
• 로버트 라자르펠드가 기여한 부록을 통해 복소다양체의 모어 부등식을 임의의 특성수로 일반화하는 것.
• 비아르키메데스 기하학에서 전역적 방법을 대체할 국소적 체적 도구를 제공하여 강력한 대수성 가정을 제거할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 완비 이산적으로 값이 주어진 체 위의 프로젝티브 다양체 $X$의 해석적 변환 $X^{\mathrm{an}}$를 사용하며, 선다발 $L^{\mathrm{an}}$에 연속적인 준양성 메트릭을 갖춘다.
• 비아르키메데스 체적 이론을 적용하여 $L^{\otimes m}$의 소형 절편들의 점점 커지는 성장을 통제한다.
• 연속적인 준양성 메트릭에서 체적 함수의 미분 가능성 공식을 확립하며, 도함수가 몽체–암페르 측도 $c_{1}(L,\|\|)^{\wedge n}$임을 보여준다.
• 점점 커지는 코homological 함수 $\widehat{h}^{i}(Y,L)$를 사용하며, 고전적인 체적 및 모어 부등식 결과를 임의의 체로 일반화한다.
• 기저 변화와 버티니 유형의 추론을 사용하여 매우 항등적인 초면수의 경우로 축소하고, 코즐 유형 복합체를 통한 약한 해석을 적용한다.
• 로버트 라자르펠드의 부록에 의존하며, 이는 임의의 특성수에서 복소다양체의 모어 부등식을 순수하게 대수적으로 증명하는 데 기여하며, 체적 추정의 일반화에 핵심적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아르키메데스 체적 함수는 연속적인 준양성 메트릭에서 미분 가능성을 갖는가?
• RQ2 비아르키메데스 설정에서 체적 함수의 도함수는 몽체–암페르 측도로 표현될 수 있는가?
• RQ3 특성수 0에서 다수의 복소다양체 함수의 수직성 성질은 비아르키메데스 몽체–암페르 문제에서 대수성 조건 $(\dagger)$를 제거할 수 있도록 허용하는가?
• RQ4 임의의 특성수에서 점점 커지는 코homological 함수 $\widehat{h}^{i}$는 교차 이론적 양수로 유계인가?
• RQ5 해석적 방법 없이 양의 특성수에서 복소다양체의 모어 부등식을 대수적으로 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 비아르키메데스 체적은 임의의 연속적인 준양성 메트릭에서 미분 가능하며, 도함수는 몽체–암페르 측도 $c_{1}(L,\|\|)^{\wedge n}$와 같다. 이는 콘스테비치와 츄켈린크의 추측을 확인한다.
• 잔류 특성수 0에서의 미분 가능성은 비아르키메데스 다수의 복소다양체 함수에 대해 수직성 성질을 유도하며, 이는 비아르키메데스 몽체–암페르 방정식의 존재 정리에서 대수성 가정 $(\dagger)$를 제거할 수 있도록 한다.
• 로버트 라자르펠드의 부록은 임의의 특성수에서 점점 커지는 복소다양체의 모어 부등식에 대한 순수 대수적 증명을 제공하며, 이는 이전의 해석적 및 특성수 0 결과를 일반화한다.
• 비네이티브 선다발에 대해 체적 함수는 점점 커지는 공식 $\operatorname{vol}(L\otimes M^{-1}) \geq L^n - nL^{n-1}\cdot M$를 만족하며, 이는 고전적 결과를 대수적으로 닫히지 않은 체로 확장한다.
• 임의의 체 위의 프로젝티브 스킴에 대해 점점 커지는 코homological 함수 $\widehat{h}^{q}(Y,F)$는 비네이티브 초면수 $D,E$에 대해 $\widehat{h}^{q}(Y,F) \leq \binom{n}{q} D^{n-q} \cdot E^q$를 만족하며, 체적의 경우 $(q=0)$에 등호가 성립한다.
• 증명 전략은 모델에 대한 전역적 방법을 국소적 체적 추정으로 대체하여, $X$가 곡선의 함수체 위에 정의되어 있어야 한다는 조건 없이도 비아르키메데스 몽체–암페르 방정식의 해를 구할 수 있도록 한다.