[논문 리뷰] Differentiable cyclic cohomology and Hopf algebraic structures in transverse geometry

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|2001. 02. 20.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 14인용 수 49

한 줄 요약

이 논문은 다변량의 프레임 번들의 미분형식에 대한 동치변환에 의해 유도되는 확장된 호프 대수 $\mathcal{H}_{FM}$의 주기적 호프 순환 코hom로그리아와 형식 벡터장의 게르파인-푸흐 코호몰로지 사이의 표준적 동형사상을 확립한다. 이 동형사는 비틀림이 없는 접선 결합을 통해 구성된 코체인 사상으로 실현되며, 평탄하지 않은 경우에도 직관적이고 기하학적인 방법으로 초타원적 서명 연산자의 전이 지수 공식을 다룰 수 있게 한다.

ABSTRACT

We prove a cyclic cohomological analogue of Haefliger's van Est-type theorem for the groupoid of germs of diffeomorphisms of a manifold. The differentiable version of cyclic cohomology is associated to the algebra of transverse differential operators on that groupoid, which is shown to carry an intrinsic Hopf algebraic structure. We establish a canonical isomorphism between the periodic Hopf cyclic cohomology of this extended Hopf algebra and the Gelfand-Fuchs cohomology of the Lie algebra of formal vector fields. We then show that this isomorphism can be explicitly implemented at the cochain level, by a cochain map constructed out of a fixed torsion-free linear connection. This allows the direct treatment of the index formula for the hypoelliptic signature operator - representing the diffeomorphism invariant transverse fundamental $K$-homology class of an oriented manifold - in the general case, when this operator is constructed by means of an arbitrary coupling connection.

연구 동기 및 목표

• 전이가 평탄하지 않은 조건으로 전이 지수 정리를 확장하기 위해 곡률을 코호몰로지 프레임워크에 통합하는 것.
• 다양체 위의 미분형식의 국소 미분형식 군의 군의 이론에 대해 곡률을 '두꺼운' 호프 대수 $\mathcal{H}_{FM}$를 통해 포함하는 미분가능한 순환 코호몰로지 이론을 구축하는 것.
• 주기적 호프 순환 코호몰로지와 형식 벡터장의 게르파인-푸흐 코호몰로지 사이의 동형사상에 대해 코체인 수준에서의 실현을 확립하는 것.
• 편평한 전이 조건이 없더라도, 군의 이론에서 고전적인 체르니 및 보조 특성류의 순환 코호몰로지 표현을 접선에 의존하는 기하학적 방법으로 구성하는 것.

제안 방법

• 기하다양체 $M$의 프레임 번들의 동치변환에 의해 작용하는 $FM \rtimes \Gamma_M$ 에테일 군의로의 변환 미분 연산자에 대한 계수를 가진 변수 계수의 확장된 호프 대수 $\mathcal{H}_{FM}$ 을 도입한다.
• $\mathcal{R}_{FM} = C^\infty(FM)$ 위의 이중모듈러로 $\mathcal{H}_{FM}$ 을 정의하며, $\mathcal{R}_{FM}$ 에 대한 텐서곱 위에 카프로덕트를 둔다. 이는 표준 호프 대수의 일반화이다.
• 기하다양체 $M$ 위의 고정된 비틀림이 없는 선형 접선 결합으로 명시적으로 구성된 코체인 사상으로, $\mathcal{H}_{FM}$ 의 주기적 호프 순환 코호몰로지에서 형식 벡터장의 게르파인-푸흐 코호몰로지로 가는 표준적 사상을 실현한다.
• 주요 번들의 $PM$ 상에서의 초타원적 해석학을 이용하여 스펙트럴 트리플렛을 정의하고, 연산자 추적과 워디치 잔여치를 포함하는 국소 지수 공식을 통해 코어 차수를 계산한다.
• 초타원적 서명 연산자 $Q = D|D|$ 의 코어 차수에 대응하는 코호몰로지 사이클이 상대 리 대수 코호몰로지 $H^*({\mathfrak{a}}_n, SO(n))$ 에서의 특성 환형사상의 이미지에 속한다는 것을 보이며, 이를 접선 및 곡률 형식으로 표현한다.
• 전이 지수를 나타내는 코체인이 $FM \rtimes \Gamma_M$ 의 제트 군의로의 접선 형식 $\omega_\nabla$, 곡률 형식 $\Omega_\nabla$, 그리고 이동 함수 $\gamma_{jk}^i$, $\gamma_{jk,\ell}^i$ 로 구성됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이가 평탄하지 않은 일반적인 경우에 대해 초타원적 연산자의 전이 지수 공식을 곡률을 포함함으로써 확장할 수 있는가?
• RQ2 자연스럽게 확장된 호프 대수 $\mathcal{H}_{FM}$ 의 주기적 호프 순환 코호몰로지와 형식 벡터장의 게르파인-푸흐 코호몰로지 사이에 표준적 동형사상이 존재하는가?
• RQ3 이 동형사상은 비틀림이 없는 접선 결합과 같은 기하학적 자료를 사용하여 코체인 수준에서 실현될 수 있는가?
• RQ4 초타원적 서명 연산자의 코어 차수는 $\mathcal{H}_{FM}$ 의 순환 코호몰로지에서 접선 및 곡률 형식으로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ5 이동 함수 $\gamma_{jk}^i$ 와 $\gamma_{jk,\ell}^i$ 는 고전적 특성류의 순환 코호몰로지 대응을 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 주기적 호프 순환 코호몰로지와 $\mathbb{R}^n$ 상의 형식 벡터장의 게르파인-푸흐 코호몰로지 사이에 표준적 동형사상이 $\mathcal{H}_{FM}$ 과 그 $SO(n)$-상대적 형태로 확립된다.
• 이 동형사는 기하다양체 $M$ 상의 비틀림이 없는 선형 접선 결합으로 명시적으로 구성된 사상으로 코체인 수준에서 실현되며, 코호몰로지 대응의 기하학적 실현을 제공한다.
• 초타원적 서명 연산자 $Q = D|D|$ 의 코어 차수는 $H^*({\mathfrak{a}}_n, SO(n))$ 에 속하는 보편적 클래스 $\mathcal{L}_n$ 의 특성 환형사상의 이미지임을 보이며, 이는 전이 지수 정리를 일반적으로 증명한다.
• 전이 지수를 나타내는 코호몰로지 사이클은 접선 형식 $\omega_\nabla$, 곡률 형식 $\Omega_\nabla$, 그리고 제트 군의로의 이동 함수 $\gamma_{jk}^i$, $\gamma_{jk,\ell}^i$ 로 구성되며, 이는 고전적 특성류의 직접적인 기하학적 구성 가능성을 보장한다.
• 이 방법은 전이가 평탄하지 않아도 전이 지수 공식을 계산할 수 있게 하여, 이전의 공식화에서 중요한 기하학적 제약 조건을 제거한다.
• 코체인 사상은 미분형식에 대한 불변성을 보장하며, 다양체의 전이 기본 $K$-호모로지 클래스의 요구 조건을 충족시킨다.