[논문 리뷰] Differential bundles and fibrations for tangent categories

J.R.B. Cockett, G. S. H. Cruttwell|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 27.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 스무스 벡터 번들의 일반화를 위해 스칼라 곱이나 국소적 평탄성 조건을 요구하지 않는 접선 범주에서 미분 번들 및 미분 피브레이션을 도입한다. 표시 접선 범주에서, 미분 번들은 섬유 범주에서의 미분 대상과 대응되며, 이는 미분 번들의 피브레이션 구조가 일관된 미분 접선 피브레이션을 이룬다는 것을 증명한다. 이는 카르테시안 미분 범주와 접선 범주를 피브레이션 구조를 통해 통합한다.

ABSTRACT

Tangent categories are categories equipped with a tangent functor: an endofunctor with certain natural transformations which make it behave like the tangent bundle functor on the category of smooth manifolds. They provide an abstract setting for differential geometry by axiomatizing key aspects of the subject which allow the basic theory of these geometric settings to be captured. Importantly, they have models not only in classical differential geometry and its extensions, but also in algebraic geometry, combinatorics, computer science, and physics. This paper develops the theory of "differential bundles" for such categories, considers their relation to "differential objects", and develops the theory of fibrations of tangent categories. Differential bundles generalize the notion of smooth vector bundles in classical differential geometry. However, the definition departs from the standard one in several significant ways: in general, there is no scalar multiplication in the fibres of these bundles, and in general these bundles need not be locally trivial. To understand how these differential bundles relate to differential objects, which are the generalization of vector spaces in smooth manifolds, requires some careful handling of the behaviour of pullbacks with respect to the tangent functor. This is captured by "transverse" and "display" systems for tangent categories, which leads one into the fibrational theory of tangent categories. A key example of a tangent fibration is provided by the "display" differential bundles of a tangent category with a display system. Strikingly, in such examples the fibres are Cartesian differential categories demonstrating a -- not unexpected -- tight connection between the theory of these categories and that of tangent categories.

연구 동기 및 목표

• 스칼라 곱이나 국소적 평탄성 조건을 가정하지 않고 미분 기하학에서의 스무스 벡터 번들을 추상 접선 범주로 일반화하는 것.
• 접선 범주에서의 미분 번들과 벡터 공간의 일반화인 미분 대상 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 수직 및 표시 시스템을 사용하여 접선 범주의 피브라티브 이론을 개발함으로써, 미분 구성에서의 구조적 일관성을 확보하는 것.
• 표시 접선 범주에서, 미분 번들의 피브레이션이 일관된 미분 구조를 상속받으며, 접선 범주와 카르테시안 미분 범주를 연결하는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 클래식한 미분 기하학의 수직 상승 맵을 일반화하는 공리들을 만족하는 수직 상승 맵을 갖춘 덧셈 번들로서의 미분 번들을 도입한다.
• 수직 및 표시 시스템을 사용하여 피보트와 접선 함자 간의 상호작용을 관리함으로써 접선 구조와의 호환성을 확보한다.
• 접선 피브레이션을 정의하고, 표시 접선 범주 위에서의 미분 번들의 피브레이션이 미분 접선 피브레이션을 이룬다는 것을 보여준다.
• 대체 함수자와 피보트를 적용하여, 기저 변경에 대해 미분 번들이 보존됨을 보이며, 고전적 피보트 불변성을 일반화한다.
• 표시 접선 범주에서의 번들의 각 섬유가 카르테시안 접선 범주임을 증명함으로써 내부적인 미분 구조를 가능하게 한다.
• 공리 [CDS.1]과 [CDS.2]를 통해 미분 구조의 일관성을 증명하며, 위트니 합과 국소 수직 접선 번들이 요구되는 호환 조건을 만족함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스칼라 곱이나 국소적 평탄성 조건을 가정하지 않고 접선 범주에서 벡터 번들을 어떻게 추상적으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 접선 범주에서의 미분 번들과 미분 대상 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 피보트가 접선 함자와 어떻게 상호작용하는가? 이러한 상호작용을 제어하는 구조는 무엇인가?
• RQ4 어떤 조건이 미분 번들의 피브레이션이 일관된 미분 구조를 상속받는지를 보장하는가?
• RQ5 접선 범주에서의 표시 시스템은 어떻게 미분 번들의 피브라티브 처리와 그 일관성을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 접선 범주에서의 미분 번들은 스칼라 곱이나 국소적 평탄성 조건 없이도 스무스 벡터 번들의 일반화이며, 특정 공리를 만족하는 수직 상승 맵에 의존한다.
• 표시 접선 범주에서, 객체 M 위의 미분 번들은 번들의 피브레이션에서 M 위의 섬유 범주에서의 미분 대상과 정확히 일치한다.
• 표시 접선 범주에서 번들의 피브레이션의 각 섬유는 스스로가 카르테시안 접선 범주이며, 내부적인 미분 구조를 가능하게 한다.
• 표시 접선 범주에서의 미분 번들의 피브레이션은 [CDS.1]과 [CDS.2] 공리를 만족하는 일관된 미분 접선 피브레이션을 이룬다.
• 기저 변경에 대해 미분 번들의 피보트가 보존되며, 이는 섬유 범주 간 강한 접선 함자에 의한 개념적 증명으로 이루어진다.
• 영 단면을 따라의 대체를 통해 국소 수직 접선 번들을 구성할 때, [CDS.2]의 일관성 조건을 만족함으로써 미분 구조의 호환성이 보장된다.