[논문 리뷰] Differential Calculus, Manifolds and Lie Groups over Arbitrary Infinite Fields

Wolfgang Bertram, Helge Glöckner외 1명|ArXiv.org|2003. 03. 25.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 무한 체와 위상적 링 위에서 통합적이고 공리적인 미분법을 개발하며, 고전적 C^k 이론을 일반화한다. 차분 몫 (f[x+tv]-f[x])/t의 연속적 연장에 의해 C^1-함수를 정의함으로써, 국소적으로 볼록이 아닌 위상선형공간으로까지 미분법을 확장하며, 국소적으로 볼록인 경우 켈러의 C^k_c 이론을 복원하고, 실수, 복소수, 초거시적 설정을 통일적으로 다룰 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We present an axiomatic approach to finite- and infinite-dimensional differential calculus over arbitrary infinite fields (and, more generally, suitable rings). The corresponding basic theory of manifolds and Lie groups is developed. Special attention is paid to the case of mappings between topological vector spaces over non-discrete topological fields, in particular ultrametric fields or the fields of real and complex numbers. In the latter case, a theory of differentiable mappings between general, not necessarily locally convex spaces is obtained, which in the locally convex case is equivalent to Keller's C^k_c-theory.

연구 동기 및 목표

• . 임의의 무한 체와 적절한 링 위에서 일반적인 미분법을 개발한다.
• . 실수, 복소수, 초거시적 설정 간의 유한차원 및 무한차원 미분법을 통합한다.
• . 국소적으로 볼록이 아닌 위상선형공간으로까지 미분법을 확장한다.
• . 국소적으로 볼록인 경우 켈러의 C^k_c 이론으로 축소되는 C^k-이론을 제공한다.
• . 임의의 위상체 위에서의 다양체와 리군을 위한 기초를 마련한다.

제안 방법

• . C^1-함수를 (x,v,t) ↦ (f(x+tv)−f(x))/t 의 차분 몫 함수를 t=0으로 연속적으로 연장함으로써 정의한다.
• . f[1](x,v,t) 가 U[1] = {(x,v,t) | x∈U, x+tv∈U} 에서 존재하고 연속적이라는 조건을 C^1의 핵심 정의로 사용한다.
• . 고차원 차분 몫과 k-다중선형 미분형태를 통해 C^k-함수로 이론을 확장한다.
• . 비이산 위상체 위의 위상선형공간, 특히 초거시적 및 아르키메데스 체에 이 이론을 적용한다.
• . C^k-아틀라스와 군 연산을 통해 이 미분법을 이용해 다양체와 리군을 구성한다.
• . 적분 표현과 보만의 정리를 통해 국소적으로 볼록인 경우 켈러의 C^k_c 이론과의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 실수나 복소수의 특정 성질에 의존하지 않고, 임의의 무한 체 위에서 통일된 미분법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 . 고전적 정의가 실패하는 국소적으로 볼록이 아닌 공간에서 C^1-함수는 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 . 일반적인 위상선형공간에서 차분 몫의 연속적 연장이 C^1-함수를 특징짓는가?
• RQ4 . 이 이론은 국소적으로 볼록인 경우 켈러의 C^k_c 이론과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 . 이 틀을 사용하여 임의의 위상체 위에서 다양체와 리군을 일관적으로 정의할 수 있는가?

주요 결과

• . 차분 몫 함수의 연속적 연장에 기반한 제안된 C^1-정의는 실수 및 복소수의 경우 고전적 C^1-이론과 동치이다.
• . 국소적으로 볼록인 경우 이 이론은 켈러의 C^k_c 이론을 복원하여 기존 프레임워크와의 일관성을 입증한다.
• . 이 이론은 실수, 복소수, 초거시적 체에 대해 균일하게 적용되며, 별도의 다루기 위한 조치가 필요 없어진다.
• . 이 이론은 국소적으로 볼록이 아닌 위상선형공간에서도 미분법을 적용할 수 있게 하여 미분기하학의 적용 범위를 확장한다.
• . C^k-함수는 k-다중선형 형식의 공간에 값을 갖는 연속적인 k차의 차분 몫 함수의 존재성으로 특징지어진다.
• . 이 이론은 실수나 아르키메데스적이지 않은 체를 포함한 임의의 위상체 위에서 무한차원 다양체와 리군의 구성에 기여한다.