[논문 리뷰] Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds

Charles-Michel Marle|ArXiv.org|2008. 04. 15.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 19인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 리 대수다발 위에서의 미분법의 포괄적인 이론을 개발하며, 외부 미분, 리 미분, 쇼텐-니젠하이스 브라켓을 접선 및 코접선 다발의 프레임워크를 초월해 일반화한다. 이는 파아송 다양체의 코접선 다발이 자연스럽게 리 대수다발의 구조를 지닌다는 것을 증명하며, 이중 다발 $E^*$ 위의 파아송 구조가 섬유 방향 동위자기 벡터장에 대해 동차임을 보이며 $[Z, \Lambda] = -\Lambda$를 만족함으로써 파아송 기하학의 기하학적 구조를 통합한다.

ABSTRACT

A Lie algebroid over a manifold is a vector bundle over that manifold whose properties are very similar to those of a tangent bundle. Its dual bundle has properties very similar to those of a cotangent bundle: in the graded algebra of sections of its external powers, one can define an operator similar to the exterior derivative. We present in this paper the theory of Lie derivatives, Schouten-Nijenhuis brackets and exterior derivatives in the general setting of a Lie algebroid, its dual bundle and their exterior powers. All the results (which, for their most part, are already known) are given with detailed proofs. In the final sections, the results are applied to Poisson manifolds.

연구 동기 및 목표

• 표준적인 미분법—외부 미분, 리 미분, 쇼텐-니젠하이스 브라켓—을 접선 및 코접선 다발의 프레임워크를 초월해 리 대수다발의 맥락으로 일반화하는 것.
• 일반적인 리 대수다발 프레임워크 내에서 알려진 결과에 대해 상세하고 자립적인 증명을 제공하여 표준 미분기하학과의 구조적 유사성을 명확히 하는 것.
• 개발된 이론을 파아송 다양체에 적용하여, 그들의 코접선 다발이 파아송 이중벡터로부터 자연스럽게 리 대수다발의 구조를 상속한다는 것을 보여주는 것.
• 이중 다발 $E^*$ 위의 파아송 구조의 기하학적 성질, 특히 섬유 방향 동위자기 벡터장에 대한 동차성에 대한 기초를 마련하는 것.
• 앵커 사상의 전치 $\,{}^{t}\!\rho: T^*M \to E^*$ 가 $T^*M$ 위의 표준 심플렉틱 구조와 $E^*$ 위의 파아송 구조 사이를 연결하는 파아송 매핑임을 보이는 것.

제안 방법

• 리 대수다발을 다발 $M$ 위의 벡터다발 $E$ 와 그 매끄러운 단면들에 대한 리 괄호, 그리고 리만 룰을 만족하는 벡터다발 사상 $\rho: E \to TM$ 로 정의하는 형식적 정의.
• 매끄러운 함수와 단면에 대해 $\{s_1, fs_2\} = f\{s_1, s_2\} + (i(\rho \circ s_1)df)s_2$ 를 만족하는 르이프니츠 유형 공식 유도.
• 다른 다발 $E^*$의 외부 거듭제곱 단면의 그룹화된 대수 위에서의 외부 미분 $d_E$ 구성. 이는 고전적 드 라함 미분을 일반화한다.
• 리 대수다벨의 다중벡터장 위에서의 쇼텐-니젠하이스 브라켓 정의 및 연구. 이는 고전적 브라켓을 일반화한다.
• 파아송 이중벡터 $\Lambda$ 가 $[Z, \Lambda] = -\Lambda$ 를 만족함을 증명. 여기서 $Z$ 는 섬유 방향 동위자기의 흐름을 생성한다.
• 벡터장 $Z$ 의 흐름에 따른 역상 $H_t^*$ 를 사용하여 $H_t^*\Lambda = e^{-t}\Lambda$ 를 보이고, 이로부터 리 미분 항등식 $[Z, \Lambda] = -\Lambda$ 를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준적인 다변수 미분법이 접선 및 코접선 다발을 초월해 리 대수다벨 맥락으로 어떻게 일반화될 수 있는가? 특히 외부 미분과 리 미분 측면에서.
• RQ2 리 대수다벨과 그 이중의 맥락에서 쇼텐-니젠하이스 브라켓의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ3 파아송 다양체의 코접선 다발이 파아송 이중벡터로부터 어떻게 리 대수다벨의 구조를 상속하는가?
• RQ4 이중 다발 $E^*$ 위의 파아송 구조는 섬유 방향 동위자기 벡터장 $Z$ 에 대해 동차한가? 만약 그렇다면, 정확한 리 미분 관계는 무엇인가?
• RQ5 전치된 앵커 사상 $\,{}^{t}\!\rho: T^*M \to E^*$ 는 $T^*M$ 의 표준 심플렉틱 구조와 $E^*$ 위의 파아송 구조 사이의 파아송 매핑인가?

주요 결과

• 리 대수다벨에서의 쇼텐-니젠하이스 브라켓은 고전적 브라켓을 일반화하며, 일관된 르이프니츠 유형 항등식을 만족한다.
• 외부 다발 $E^*$-값을 가진 형식의 그룹화된 대수 위에서의 외부 미분 $d_E$ 는 $d_E^2 = 0$ 을 만족하며, 이는 리 대수다벨로의 드 라함 복합체를 일반화한다.
• 이중 다발 $E^*$ 위의 파아송 구조는 섬유 방향 동위자기 벡터장 $Z$ 에 대해 동차하며, $[Z, \Lambda] = -\Lambda$ 를 만족함을 증명. 이는 $H_t$ 의 흐름에 따른 역상을 통해 증명된다.
• 앵커 사상의 전치 $\,{}^{t}\!\rho: T^*M \to E^*$ 는 파아송 매핑이며, 모든 $E^*$ 위의 매끄러운 함수 $h_1, h_2$ 에 대해 $\{h_1 \circ \,{}^{t}\!\rho, h_2 \circ \,{}^{t}\!\rho\} = \{h_1, h_2\} \circ \,{}^{t}\!\rho$ 를 만족한다.
• 이중 다발 $E^*$ 위의 파아송 이중벡터 $\Lambda$ 는 $H_t^*\Lambda = e^{-t}\Lambda$ 를 만족하며, 여기서 $H_t$ 는 동위자기 벡터장 $Z$ 의 흐름이다. 이는 동차성 성질을 확인한다.