[논문 리뷰] Differential cohomology in a cohesive infinity-topos

Urs Schreiber|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 136인용 수 87

한 줄 요약

이 논문은 코hesive ∞-토포스 내에서 미분 코hom올로지와 초월-위어 이론을 통합하는 프레임워크를 수립하며, 고차형 게이지 장과 그 기하적 양자화를 위한 합성적 공리 체계를 제공한다. 고차원으로 일반화된 고전적 초월-위어-시몬스 이론과 웨스-츠ุม노-위튼 이론을 통합하고, 고차형 초월-위어-위어 호모모르피즘을 모듈리 ∞-스택 위의 사상으로 식별하며, 휘어진 코호몰로지를 통한 양자화가 위튼 특성함수와 같은 분할 함수를 도출함으로써, 이상치 상쇄와 확장된 전구상 이론 간 깊은 연결 고리를 드러낸다.

ABSTRACT

We formulate differential cohomology and Chern-Weil theory -- the theory of connections on fiber bundles and of gauge fields -- abstractly in the context of a certain class of higher toposes that we call "cohesive". Cocycles in this differential cohomology classify higher principal bundles equipped with cohesive structure (topological, smooth, synthetic differential, supergeometric, etc.) and equipped with connections, hence higher gauge fields. We discuss various models of the axioms and applications to fundamental notions and constructions in quantum field theory and string theory. In particular we show that the cohesive and differential refinement of universal characteristic cocycles constitutes a higher Chern-Weil homomorphism refined from secondary caracteristic classes to morphisms of higher moduli stacks of higher gauge fields, and at the same time constitutes extended geometric prequantization -- in the sense of extended/multi-tiered quantum field theory -- of hierarchies of higher dimensional Chern-Simons-type field theories, their higher Wess-Zumino-Witten-type boundary field theories and all further higher codimension defect field theories. We close with an outlook on the cohomological quantization of such higher boundary prequantum field theories by a kind of cohesive motives.

연구 동기 및 목표

• 고차 토포스 이론 내에서 미분 코호몰로지와 게이지 장 이론에 대한 합성적이고 공리적인 기초를 제공하는 것.
• 고전적 초월-위어 호모모르피즘을 고차 ∞-접속과 고차 특성류로 일반화하는 것.
• 확장된 전구상 이론의 단일 프레임워크 내에서 고차 초월-위어-시몬스 이론과 웨스-츠ุม노-위튼 이론을 통합하는 것.
• 접속의 모듈리 ∞-스택이 편향된 K-방향성과 스트링 구조와 같은 이상치 상쇄 조건을 자연스럽게 포함하는 방식을 밝히는 것.
• 편향된 일반 코호몰로지를 통한 고차 경계 및 결함 이론의 코호몰로지적 양자화를 제안하여 위튼 특성함수와 같은 양자 불변량을 도출하는 것.

제안 방법

• 코hesive ∞-토포스 내에서 미분 코호몰로지를 형식화하며, 여기서 코hesive 구조(스무스, 수퍼, 합성적)가 토포스 공리에 내장되어 있다.
• 구체적인 모델로 스무스 ∞-군oids와 ∞-리 대수다발을 포함하는 코hesive ∞-토포스를 구성한다.
• ∞-초월-위어 호모모르피즘을 주 ∞-접속에서 (n+1)-접속을 가진 (n+1)- bundles로 가는 사상으로 정의하며, 그 호몰로지가 고차 초월-위어-시몬스 작용 함수를 제공한다.
• 이러한 번들들의 고차 호몰로지를 전체 구성 ∞-군oids 위의 사상으로 간주하여 ∞-초월-위어-시몬스 이론의 작용 함수로 계산한다.
• 차별적 휘어짐과 루핑을 이용해 초월-위어-시몬스 라그랑지안에서 고차 웨스-츠ุม노-위튼 함수를 도출한다.
• 예를 들어 tmf를 포함한 휘어진 일반 코호몰로지에서의 푸시-포워드를 통한 코호몰로지적 양자화를 적용하여 위튼 특성함수와 같은 양자 불변량을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 기하적 구조에서 고차형 게이지 장을 통합적으로 다룰 수 있는 방식으로, 미분 코호몰로지와 초월-위어 이론을 어떻게 공리화할 수 있는가?
• RQ2 코hesive ∞-토포스가 고차 게이지 이론의 기하적 및 위상적 자료와 이상치를 포괄하는 데 어떤 정확한 역할을 하는가?
• RQ3 ∞-초월-위어 호모모르피즘은 고전적 초월-위어-시몬스 이론과 웨스-츠ุม노-위튼 이론을 고차원과 확장된 장 이론으로 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 접속의 모듈리 ∞-스택이 편향된 K-방향성 또는 스트링 구조와 같은 페르미온 이상치 상쇄 조건을 어떤 의미에서 포함하는가?
• RQ5 이상적인 스트링 이론과 같은 양자장 이론의 분할 함수는 휘어진 코호몰로지를 통한 고차 전구상 기하학적 구성에서 유도될 수 있는가?

주요 결과

• ∞-초월-위어 호모모르피즘은 ∞-접속의 모듈리 ∞-스택에서 (n+1)-접속을 가진 번들의 모듈리 ∞-스택으로 가는 사상으로 실현되며, 고전적 초월-위어-시몬스 함수를 일반화한다.
• 결과적으로 도출된 초월-위어-시몬스 (n+1)-번들의 고차 호몰로지는 전체 구성 ∞-군oids 위의 사상으로서 ∞-초월-위어-시몬스 이론의 작용 함수를 계산한다.
• 차별적 루핑 구조를 통한 구성은 초월-위어-시몬스 이론의 휘어진 루프 공간으로서 고차 웨스-츠ุม노-위튼 함수를 도출하며, 경계 및 결함 이론의 기하적 전구상 이론화를 제공한다.
• 이 프레임워크는 자연스럽게 이상치 상쇄를 포함한다: 예를 들어, D-브레인 전하의 프리드-위튼 조건은 브레인 부분다양체의 χ-편향된 K-방향성과 동치이다.
• 편향된 tmf에서의 푸시-포워드를 통한 코호몰로지적 양자화는 위튼 특성함수를 이론적 분할 함수로 도출하며, 궤도 방법의 고차원 해석으로 간주할 수 있다.
• O9-평면에 끝나는 M2-브레인의 구성은 동일한 메커니즘을 통해 이론적 이론적 스트링으로 이어지며, 이에 따른 분할 함수는 위튼 특성함수로 주어지며, [Sa10a]에서 제안된 바를 확인한다.