[논문 리뷰] Differential forms and the Wodzicki residue

William J. Ugalde|ArXiv.org|2002. 11. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 경계가 없는 짝수 차원, 컴acts한, 등각 매니폴드 위에 정의된 미분형식 $\Omega_{n,S}$를 제시한다. 이는 0차 수준의 미분형식 연산자 $S$의 교환자에 대한 Wodzicki 잔여치로부터 유도된다. $\Omega_{n,S}$가 그 변수들에 대해 대칭임을 증명하고, 평탄한 경우에 대해 프레드홀름 모듈러스 연산자 $F$의 총 기호를 통해 명시적인 공식을 제공한다. 이는 GJMS 연산자와 같은 등각 불변 연산자에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

For a pseudodifferential operator $S$ of order 0 acting on sections of a vector bundle $B$ on a compact manifold $M$ without boundary, we associate a differential form of order dimension of $M$ acting on $C^\infty(M) imes C^\infty(M)$. This differential form $Ω_{n,S}$ is given in terms of the Wodzicki 1-density $\wres([S,f][S,h])$. In the particular case of an even dimensional, compact, conformal manifold without boundary, we study this differential form for the case $(B,S)=(\cH,F)$, that is, the Fredholm module associated by A. Connes to the manifold $M.$ We give its explicit expression in the flat case and then we address the general case.

연구 동기 및 목표

• 0차 수준의 미분형식 연산자 $S$를 사용하여, 경계가 없는 컴팩트한 짝수 차원 등각 매니폴드 위에 미분형식 $\Omega_{n,S}$를 정의한다.
• 매니폴드와 관련된 프레드홀름 모듈러스 연산자 $F$일 때, $\Omega_{n,S}$가 $f$와 $h$에 대해 대칭임을 증명한다.
• 연산자 $F$의 주된 기호를 계산하고, $\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$의 타일러 전개를 통해 평탄한 경우에 $\Omega_n$을 명시적으로 표현한다.
• 일반적인 경우에 $\Omega_n(f,h)$를 $Q_n(df,dh) + Q_{R,n}(df,dh)$의 형태로 일반화하고, 이는 평탄한 경우와 곡선한 경우 모두에서 유효하며, 고차원에서의 이전 계산에 대한 엄밀한 기초를 제공한다.
• 기호 $F$가 계량의 편미분에 어떻게 의존하는지 규명하여, 결과를 평탄하지 않은 등각 매니폴드로 일반화할 수 있음을 뒷받기한다.

제안 방법

• 미분형식 $\Omega_{n,S}$는 Wodzicki 잔여치 항등식을 통해 정의된다: $\operatorname{Wres}(f_0[S,f][S,h]) = \int_M f_0 \Omega_{n,S}(f,h)$로, 잔여치를 다양체 위의 적분과 연결한다.
• 구성은 주로 미분형식 연산자의 곱에 대한 총 기호 공식에 기반하며, 특히 $\mathcal{L}_k$-형 기호로 표현된 $\sigma(F)$의 전개에 초점이 맞춰져 있다.
• 평탄한 경우, $\Omega_n$은 주된 기호 $\sigma_L^F(\xi)\sigma_L^F(\eta)$의 트레이스로부터 유도되며, $\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$의 대각선 주변에서의 타일러 전개를 사용한다.
• 일반적인 경우, $\Omega_n(f,h)$는 $Q_n(df,dh) + Q_{R,n}(df,dh)$로 표현되며, $Q_n$은 평탄한 경우와 일치하고 $Q_{R,n}$은 곡률 보정을 담고 있다.
• 연산자 $F$의 주요 기호는 $\sigma_L^F \sim \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2 + (\mathcal{L}_1)^2 + \cdots$로 계산되며, 고차항은 $\sum k\alpha_k = k$를 만족하는 $\mathcal{L}_k$-곱으로 구성된다.
• 부록에서는 기호 $F$가 계량의 편미분에 어떻게 의존하는지 엄밀히 분석하여, 결과를 평탄한 경우를 초월해 일반화하는 데 핵심적인 역할을 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 0차 수준의 미분형식 연산자 $S$에 대해 Wodzicki 잔여치를 통해 컴팩트한 다양체 위에 미분형식 $\Omega_{n,S}$를 어떻게 자연스럽게 관련지을 수 있는가?
• RQ2 0차 수준의 프레드홀름 모듈러스 연산자 $F$를 가진 짝수 차원 등각 매니폴드에서, 미분형식 $\Omega_{n,S}$가 그 변수 $f$와 $h$에 대해 대칭적인가?
• RQ3 평탄한 경우에 $\Omega_n$의 명시적 표현은 무엇이며, $\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$의 타일러 전개와의 관계는 어떠한가?
• RQ4 어떻게 $\Omega_n(f,h)$를 곡선한 다양체로 일반화할 수 있으며, $Q_{R,n}(df,dh)$ 형태에서 곡률 보정이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 프레드홀름 모듈러스 연산자 $F$의 기호는 계량의 편미분에 어떻게 의존하는가? 그리고 $\mathcal{L}_k$-형 성분으로서의 기호의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 미분형식 $\Omega_{n,S}$는 Wodzicki 잔여치 항등식 $\operatorname{Wres}(f_0[S,f][S,h]) = \int_M f_0 \Omega_{n,S}(f,h)$에 의해 유일하게 결정되며, $C^\infty(M)$ 위의 Hochschild 2-코사이클을 정의한다.
• 프레드홀름 모듈러스 $(\mathcal{H}, F)$의 경우, 모든 짝수 차원에서 형식 $\Omega_n = \Omega_{n,S}$는 $f$와 $h$에 대해 대칭이다.
• 평탄한 경우, $\Omega_n$은 $\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$의 대각선 주변에서의 타일러 전개로부터 유도된 다항식의 적분으로 명시적으로 주어지며, 주항목은 $\operatorname{trace}(\sigma_L^F(\xi)\sigma_L^F(\eta))$를 포함한다.
• 일반적인 경우, $\Omega_n(f,h)$는 $Q_n(df,dh) + Q_{R,n}(df,dh)$로 분해되며, $Q_n$은 평탄한 경우와 일치하고 $Q_{R,n}$은 곡률 보정을 담고 있다.
• 기호 $F$의 총 기호는 $\sigma^F = \sigma_0^F + \sigma_{-1}^F + \cdots + \sigma_{-k}^F + \cdots$ 형태의 행렬이며, $\sigma_{-k}^F \sim \sum (\mathcal{L}_k)^{\alpha_k} \cdots (\mathcal{L}_1)^{\alpha_1}$로 표현되며, 여기서 $\sum k\alpha_k = k$이다.
• 기호 $F$는 계량의 편미분에 의존하며, 이 의존성은 부록에서 체계적으로 분석되어 평탄한 경우를 초월한 결과의 일반화를 가능하게 한다.