[논문 리뷰] Differential Geometry of Relative Gerbes

Zohreh Shahbazi|ArXiv.org|2005. 05. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다각체 사이의 매끄러운 사상에 대해 상대 게르베를 도입하여 그 미분기하학을 수립하고, 상대 정수 코hom로도도도 3차 차수를 통해 등가류를 분류한다. 또한 군 값의 모멘트 맵을 가진 준해밀토니안 G-스패이스의 전량화가 루프 군 구축을 통해 대응하는 해밀토니안 LG-스패이스의 전량화와 동치임을 증명하며, 상대 게르베와 접속을 사용하여 딜레냐 코homology를 기하학적으로 실현한다.

ABSTRACT

This thesis introduces the notion of "relative gerbes" for smooth maps of manifolds, and discusses their differential geometry. The equivalence classes of relative gerbes are classified by the relative integral cohomology in degree three. Furthermore, by using the concept of relative gerbes, the pre-quantization of Lie group-valued moment maps is developed, and its equivalence with the pre-quantization of infinite-dimensional Hamiltonian loop group spaces is established.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 다각체 사이의 사상에 대해 상대 게르베의 미분기하학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 상대 정수 코hom로도도도 3차 수준을 통해 상대 게르베의 등가류를 분류하는 것.
• 군 값의 모멘트 맵을 가진 준해밀토니안 G-스패이스에 대한 전량화 이론을 상대 게르베를 통해 수립하는 것.
• 유한차원 준해밀토니안 G-스패이스의 전량화와 무한차원 해밀토니안 LG-스패이스의 전량화 간의 등가성을 루프 군 구축을 통해 증명하는 것.
• 기본 게르베를 포함한 명시적 상대 게르베를 구성하고, 이를 알려진 기하학적 및 위상수학적 불변량과 연결하는 것.

제안 방법

• 매끄러운 사상 Φ: M → N에 대해, 대상 다각체 위의 게르베에, 그의 역상 게르베에 대한 준선형(bundle)을 갖춘 상대 게르베를 정의한다.
• 사상 Φ의 상대 정수 코hom로도도도 H³(Φ, ℤ)를 통해 상대 게르베의 등가류 군을 특성화한다.
• 상대 접속, 상대 곡률, 상대 치이저-시몬스 특성, 상대 호로노미를 상대 게르베에 도입한다.
• 닫힌 상대 3형식이 상대 게르베에 접속이 있을 때 곡률이 되기 위한 필요충분조건이 그 형식이 정수형식이라는 것을 증명한다.
• 상대 게르베에 접속이 있을 때, 루프 공간 사상 LΦ: LM → LN를 통해 상대 선형(bundle)을 구성한다.
• 상대 게르베에 접속이 있을 때의 등가류 군이 기하학적으로 상대 딜레냐 코hom로도도도 2차 수준을 실현한다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다각체 사이의 매끄러운 사상에 대해 게르베를 어떻게 일반화할 수 있으며, 이를 분류하는 코hom로도도도 불변량은 무엇인가?
• RQ2 상대 게르베의 미분기하학적 구조, 즉 접속, 곡률, 호로노미는 어떻게 구성되는가?
• RQ3 군 값의 모멘트 맵을 가진 준해밀토니안 G-스패이스의 전량화를 상대 게르베로 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ4 유한차원 준해밀토니안 G-스패이스의 전량화와 무한차원 해밀토니안 LG-스패이스의 전량화 사이에 기하학적 대응이 존재하는가?
• RQ5 SU(n) 위의 기본 게르베와 그의 배수를 명시적으로 구성할 때, 이를 알려진 유한차원 모델과 어떻게 연결할 수 있는가?

주요 결과

• 매끄러운 사상 Φ: M → N에 대해 상대 게르베의 등가류 군은 상대 정수 코hom로도도도 3차 수준 H³(Φ, ℤ)와 동형이다.
• 닫힌 상대 3형식이 상대 게르베에 접속이 있을 때 곡률이 되기 위한 필요충분조건이 그 형식이 정수형식이라는 것을 증명함으로써, 상대 코hom로도도도의 기하학적 실현이 이루어진다.
• 상대 게르베에 접속이 있을 때, 루프 공간 사상 LΦ: LM → LN를 통해 상대 선형(bundle)에 접속이 유도된다.
• 상대 게르베에 접속이 있을 때의 등가류 군은 상대 딜레냐 코hom로도도도 2차 수준의 기하학적 모델을 제공한다.
• Gawedzki와 Reis의 유한차원 구성과 동치인, SU(n) 위의 기본 게르베를 상대 게르베를 통해 구성하는 것이 가능하다.
• 군 값의 모멘트 맵을 가진 준해밀토니안 G-스패이스의 전량화와 그에 대응하는 해밀토니안 LG-스패이스의 전량화 사이에는 루프 군 등가정리에 의해 일대일 대응이 존재한다.