[논문 리뷰] Differential Geometry of Time-Dependent Mechanics

G. Giachetta, L. Mangiarotti외 1명|ArXiv.org|1997. 02. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 38인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하는 역학을 다루는 데 있어, $ Y \to \mathbb{R} $ 위의 접속을 사용하여 게이지 불변이고 기준 프레임에 의존하지 않는 방식으로 수식화한다. 여기서 $ Y = \mathbb{R} \times M $ 는 시간과 좌표 공간을 나타낸다. 이 논문은 기준 프레임 변화에 대해 위상공간이 자연스러운 접촉 구조나 전미분형 구조를 갖지 못함을 보이며, 푸아송 괄호는 비가역적이며 해밀턴함수는 위상공간 위의 함수가 아니라는 점을 밝혀내어, 표준 해밀턴 역학이 시간에 의존하는 시스템에서 일반 상대성과 호환되지 않음을 밝힌다.

ABSTRACT

The usual formulations of time-dependent mechanics start from a given splitting $Y=R imes M$ of the coordinate bundle $Y o R$. From physical viewpoint, this splitting means that a reference frame has been chosen. Obviously, such a splitting is broken under reference frame transformations and time-dependent canonical transformations. Our goal is to formulate time-dependent mechanics in gauge-invariant form, i.e., independently of any reference frame. The main ingredient in this formulation is a connection on the bundle $Y o R$ which describes an arbitrary reference frame. We emphasize the following peculiarities of this approach to time-dependent mechanics. A phase space does not admit any canonical contact or presymplectic structure which would be preserved under reference frame transformations, whereas the canonical Poisson structure is degenerate. A Hamiltonian fails to be a function on a phase space. In particular, it can not participate in a Poisson bracket so that the evolution equation is not reduced to the Poisson bracket. This fact becomes relevant to the quantization procedure. Hamiltonian and Lagrangian formulations of time-dependent mechanics are not equivalent. A degenerate Lagrangian admits a set of associated Hamiltonians, none of which describes the whole mechanical system given by this Lagrangian.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 기계 시스템에서 고정된 기준 프레임에 의존하지 않도록 하는 것.
• 시간에 의존하는 캐논ical 변환과 기준 프레임 변화에 대해 불변인 방식으로 고전 역학을 재수립하는 것.
• 시간에 의존하는 설정에서 표준 해밀턴 및 라그랑주 수식화가 동치가 되지 못하는 이유를 다루는 것.
• 시간 진동이 절대적이지 않을 경우 위상공간의 기하학적 구조를 명확히 하는 것.
• 기준 프레임에 따라 달라지는 해밀턴함수로 인해 발생하는 양자화의 기초적 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 시간에 의존하는 역학을 다루기 위해 기저 다발 $ Y \to \mathbb{R} $ 에 기반을 두며, 여기서 $ Y = \mathbb{R} \times M $ 이고 $ M $ 은 좌표 다양체이다.
• 다발 $ Y \to \mathbb{R} $ 에 대한 접속을 사용하여 임의의 기준 프레임을 기하학적으로 기술하며, 고정된 분할 $ \mathbb{R} \times M $ 을 대체한다.
• 제트 다발과 접속을 사용하여 시간에 의존하는 라그랑주 및 해밀턴 역학의 기하학적 프레임워크를 구축한다.
• 위상공간 위의 표준 푸아송 구조가 기준 프레임 변화에 대해 보존되지 않음을 보인다.
• 해밀턴함수가 위상공간 위의 함수가 아니며, 접속의 선택에 따라 달라지므로 표준 푸아송 괄호 진동이 무효화됨을 입증한다.
• 비가역 라그랑주 함수는 다수의 해밀턴함수를 유도하며, 그 어떤 것도 시스템의 전체 역학을 완전히 기술하지 못하므로 라그랑주 및 해밀턴 수식화 간의 상호 등가성이 깨진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 분할 $ \mathbb{R} \times M $ 에 의존하지 않게, 즉 기준 프레임을 특별시키지 않게 시간에 의존하는 역학을 어떻게 수식화할 수 있는가?
• RQ2 기준 프레임 변화에 대한 공변성을 요구할 경우 시간에 의존하는 역학에서 위상공간의 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 표준 푸아송 괄호 구조가 시간에 의존하는 캐논ical 변환에 대해 불변이 되지 않는 이유는 무엇인가?
• RQ4 이 프레임워크에서 해밀턴함수가 위상공간 위의 잘 정의된 함수가 아니라는 것은 어떤 의미인가?
• RQ5 왜 시간에 의존하는 시스템에서 라그랑주 및 해밀턴 수식화가 상호 등가가 아니며, 이는 양자화에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 다발 $ Y \to \mathbb{R} $ 에 대한 접속은 기준 프레임을 게이지 불변으로 기술하며, 고정된 분할 $ \mathbb{R} \times M $ 을 대체한다.
• 시간에 의존하는 역학의 위상공간은 기준 프레임 변화에 대해 보존되는 자연스러운 접촉 구조나 전미분형 구조를 갖지 못한다.
• 위상공간 위의 표준 푸아송 구조는 비가역적이며, 따라서 미분형 구조를 유도하기 위해 역행할 수 없다.
• 이 프레임워크에서 해밀턴함수는 위상공간 위의 함수가 아니며, 선다발의 단면이 되므로 표준 푸아송 괄호 진동과 호환되지 않는다.
• 비가역 라그랑주 함수를 가진 라그랑주 역학은 해밀턴함수의 가족을 유도하며, 그 어떤 것도 전체 역학을 완전히 기술하지 못하므로 라그랑주 및 해밀턴 수식화 간의 일반적인 이중성은 깨진다.
• 해밀턴함수가 위상공간 위에서 잘 정의되지 않는다는 점은 시간에 의존하는 시스템의 양자화에 직접적인 영향을 미친다.