[논문 리뷰] Differential Graded Lie Algebras and Deformations of Holomorphic Maps

Donatella Iacono|ArXiv.org|2007. 01. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 학위논문은 콤���한 복소다양체 사이의 헬름홀로픽 맵의 무한소 변형을 연구하기 위한 미분가환 리대수(DGLA) 프레임워크를 수립한다. 특히, 맵의 변형 함수는 관련된 사상들의 매핑 콘의로부터 구성된 특정 DGLA의 변형 함수와 동형임을 보이며, 이는 코homology에서의 장애를 제어하는 반정규성 맵을 통한 일반화된 코다이라-스펜서 이론을 포함한다.

ABSTRACT

We construct the deformation functor associated to a couple of morphisms of differential graded Lie algebras, and use it to study the infinitesimal deformations of a holomorphic map of compact complex manifolds. In particular, in the case of Kähler manifolds we describe a generalizzation of the semiregularity map.

연구 동기 및 목표

• 복소다양체의 변형이론을 미분가환 리대수(DGLA)를 사용하여 헬름홀로픽 맵으로 확장하기.
• 헬름홀로픽 맵의 변형 함수를 정의하고, 그의 탄성공간과 장애공간을 규명하기.
• 고정된 도메인 또는 공역을 가진 맵에 대해 반정규성 맵을 일반화하여 장애를 제어하기.
• 매핑 콘을 통한 맵의 변형 함수와 DGLA의 변형 함수 사이의 동형관계를 수립하기.
• 포함 맵과 로그 탄성층의 경우를 분석하여 다양체 내의 디바이저의 변형을 제어하는 DGLA를 규명하기.

제안 방법

• 복소다양체 $X$에 대해 $L = A^{0,*}(X, \Theta_X)$ 라는 DGLA를 구성한다. 이는 코다이라-스펜서 대수로 알려져 있다.
• 게이지 동치에 대한 마우레르-카르탕 방정식의 해를 통해 변형 함수 $\operatorname{Def}_L$ 를 정의한다.
• 헬름홀로픽 맵 $f: X \to Y$ 에 대해, $KS_X$ 와 $KS_Y$ 에서 유도된 DGLA 사상 쌍 $(h,g)$ 를 구성하고, 매핑 콘 $L \times_M N$ 을 유도한다.
• 등식 $\operatorname{Def}_{(h,g)} \cong \operatorname{Def}(f)$ 를 통해 맵 $f$ 의 변형 함수와 DGLA 변형 함수 사이의 관련성을 확립한다.
• 포함 $i: X \hookrightarrow Y$ 에 대해, $I_X$ 를 $X$ 의 이상층으로 하여 $\sigma: H^2(L') \to H^{p-1,p+2}(Y, I_X)$ 의 반정규성 맵을 정의한다.
• 확장된 변형 함수 이론과 섬유곱을 적용하여 고정된 도메인과 공역을 가진 변형을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헬름홀로픽 맵 $f: X \to Y$ 의 변형 함수는 어떻게 DGLA에 의해 제어될 수 있는가?
• RQ2 헬름홀로픽 맵에 대한 변형 함수 $\operatorname{Def}(f)$ 의 탄성공간과 장애공간은 무엇인가?
• RQ3 고정된 공역을 가진 헬름홀로픽 맵의 변형에서 반정규성 맵은 어떻게 장애를 제어하는가?
• RQ4 부다양체 $X \subset Y$ 의 포함 맵의 무한소 변형을 제어하는 DGLA는 무엇인가?
• RQ5 다양체 $X$ 내의 디바이저 $D$ 에 대해 $H^1(X, \Theta_X(-\log D))$ 와 $H^2(X, \Theta_X(-\log D))$ 의 코homology 군은 어떻게 변형과 관련되는가?

주요 결과

• 헬름홀로픽 맵 $f: X \to Y$ 의 변형 함수 $\operatorname{Def}(f)$ 는 $f_*$ 와 $f^*$ 에 의해 유도된 DGLA 사상 쌍에 의해 관련된 $\operatorname{Def}_{(h,g)}$ 와 동형이다.
• 변형 함수 $\operatorname{Def}(f)$ 의 탄성공간은 자연스럽게 $H^1(X, \Theta_X)$ 와 동형이며, 장애공간은 $H^2(X, \Theta_X)$ 에 포함된다.
• 콤팩트 카일러 다양체에 포함된 부분다양체 $X$ 에 대해 포함 맵 $i: X \hookrightarrow Y$ 의 변형을 제어하는 DGLA 는 $L' = A^{0,*}(Y, \Theta_Y) \to A^{0,*}(X, N_{X|Y})$ 이다.
• 포함 맵의 장애공간은 반정규성 맵 $\sigma: H^2(L') \to H^{p-1,p+2}(Y, I_X)$ 의 핵에 포함되며, 여기서 $p = \dim Y - \dim X$ 이다.
• 다양체 $X$ 내의 디바이저 $D = \bigcup D_i$ 에 대해 변형 함수 $\operatorname{Def}_{X; D_1, \ldots, D_m}$ 은 $\operatorname{Def}_{L'}$ 과 동형이며, 여기서 $L' = A^{0,*}(X, \Theta_X(-\log D))$ 이다.
• 포함 맵에 대한 반정규성 맵은 이상 $I_X$ 를 보존하는 연산자들의 호모토피 클래스 복합체로의 DGLA 사상에 의해 구성되며, 이는 코homology적 장애 제어를 이끈다.