[논문 리뷰] Differential Inclusions in Wasserstein Spaces: The Cauchy-Lipschitz Framework

Benoît Bonnet, Hélène Frankowska|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 17.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 68인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 Wasserstein 공간에서 미분 포함에 대한 기능적 프레임워크를 개발하고, 속도장(measurable selections of velocity fields)으로 솔루션을 정의하며, Filippov, Relaxation, 및 compactness 결과를 입증하여 mean-field control 문제를 연구한다.

ABSTRACT

In this article, we propose a general framework for the study of differential inclusions in the Wasserstein space of probability measures. Based on earlier geometric insights on the structure of continuity equations, we define solutions of differential inclusions as absolutely continuous curves whose driving velocity fields are measurable selections of multifunction taking their values in the space of vector fields. In this general setting, we prove three of the founding results of the theory of differential inclusions: Filippov's theorem, the Relaxation theorem, and the compactness of the solution sets. These contributions -- which are based on novel estimates on solutions of continuity equations -- are then applied to derive a new existence result for fully non-linear mean-field optimal control problems with closed-loop controls.

연구 동기 및 목표

• Wasserstein 공간에서 대형 동적 시스템 및 평균장(mean-field) 극한의 연구를 동기화한다.
• Wasserstein 공간에서 속도장(measurable selections of velocity fields)을 통해 differential inclusions를 정의한다.
• Filippov’s theorem, the Relaxation theorem, 및 حل성 집합의 compactness와 같은 기초적 결과를 확립한다.
• 닫힌 루프 제어를 가진 완전히 비선형 mean-field optimal control의 존재를 프레임워크를 통해 얻는다.

제안 방법

• set-valued velocity fields V on [0,T]를 도입하고 differential inclusions를 ∂tμ(t) ∈ −div(V(t,μ(t))μ(t))로 정의한다.
• 속도를 Wasserstein 접지공간의 비국소 속도에 대한 투영으로 해석한다.
• (P_c(ℝ^d),Wp)에서 Filippov’s theorem, the Relaxation theorem, 및 궤적 집합의 compactness에 대한 일반화를 증명한다.
• 안정성 결과를 뒷받침하기 위한 연속방정식 해의 선행 추정치를 도출한다.
• measurable selection theorems를 사용하여 V에서의 선택을 실제로 차수함수 u(t)로 연결하여 특성을 구동한다.
• 제약된 mean-field optimal control 문제에 대한 존재를 얻기 위해 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Wasserstein 공간에서 set-valued velocity field를 사용하여 differential inclusions를 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ2 Filippov’s theorem을 Wasserstein 공간의 Cauchy-Lipschitz differential inclusions에 확장할 수 있는가?
• RQ3 Wasserstein 공간의 differential inclusions에 대해 Relaxation theorem이 성립하고 그 닫힘은 어떤 모습인가?
• RQ4 오른쪽 항이 볼록할 때 해의 집합은 compact한가?
• RQ5 이들이 닫힌 루프 제어를 가진 fully nonlinear mean-field optimal control의 존재를 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• Wasserstein 공간에서의 differential inclusions에 대한 강건한 해의 개념은 locally Lipschitz 속도장의 measurable selections를 통해 확립된다.
• (P_c(ℝ^d), Wp)에서 Filippov-type 결과를 확장하여 궤적 선택에 대한 Grönwall-type 부등식을 얻는다.
• 오른쪽 항이 convexified 될 때 해의 집합의 닫힘을 설명하는 Relaxation theorem이 증명된다.
• 볼록한 오른쪽 항 아래에서 해의 집합의 compactness를 보여주어 제약된 mean-field control에 대한 존재를 가능하게 한다.
• 연속방정식에 대한 새로운 momentum 및 Grönwall-type 추정은 안정성 및 수렴 분석을 뒷받침한다.