[논문 리뷰] Differential Operator Algebras on compact Riemann Surfaces

Martin Schlichenmaier|Open Repository and Bibliography (University of Luxembourg)|1993. 11. 05.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 12인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 유한 개의 점을 제외한 곳에서 해석적인 미분 연산자 대수를 구성함으로써, 임의의 종수를 가진 컴팩트 리만 곡면으로 비라소로 대수와 크리체버-노비코프 대수를 일반화한다. 내/외점 분할을 통한 그레이딩을 도입하고, 거의-중급 리 대수의 구조를 수립하며, 중심 확장을 연구하고 반무한 와이드 표현을 분석함으로써, 명시적인 코사이클과 베르마 모듈러 표현을 포함하는 고종수 초월 대칭 장 이론 대수의 고종수 버전을 도출한다.

ABSTRACT

Invited talk at the International Symposium on Generalized Symmetries in Physics at the Arnold-Sommerfeld-Institute, Clausthal, Germany, July 26 -- July 29, 1993. This talk reviews results on the structure of algebras consisting of meromorphic differential operators which are holomorphic outside a finite set of points on compact Riemann surfaces. For each partition into two disjoint subsets of the set of points where poles are allowed, a grading of the algebra and of the modules of lambda - forms is introduced. With respect to this grading the Lie structure of the algebra and of the modules are almost graded ones. Central extensions and semi-infinite wedge representations are studied. If one considers only differential operators of degree 1 then these algebras are generalizations of the Virasoro algebra in genus zero, resp. of Krichever Novikov algebras in higher genus.

연구 동기 및 목표

• 종수 0에서의 비라소로 대수를 임의의 종수를 가진 컴팩트 리만 곡면으로 일반화하기 위해.
• 유한한 점 집합 외부에서 해석적인 유리형 미분 연산자 대수를 구성하기 위해.
• 극점 집합을 내점과 외점으로 분할함으로써, λ-형식의 모듈러에 대한 그레이딩을 도입하기 위해.
• 이 대수의 중심 확장과 반무한 와이드 표현을 연구하기 위해.
• 비-twist된 아핀 카크-무디 대수의 고종수 버전과 그 표현을 수립하기 위해.

제안 방법

• 극점이 유한 집합 A = I ∪ O인 컴팩트 리만 곡면 X 위에서 미분 연산자 대수 Dλ(A)를 정의한다. 여기서 I와 O은 각각 내점과 외점이다.
• 분할 (I,O)을 사용하여 Dλ(A)와 λ-형식의 모듈러에 그레이딩을 도입함으로써, 거의-중급 리 대수의 구조를 이끌어내며.
• 유리형 미분 ρ의 잔여류로부터 유도된 국소 코사이클을 통해 대수의 중심 확장을 구성한다. 이 ρ는 주어진 잔여류와 순수 허수 주기를 가져야 한다.
• 반무한 와이드 공간 Hλ(A) 위에서의 작용을 정규화하기 위해 대수를 무한 행렬의 리 대수 gl(∞)에 통합한다.
• gl(∞) 위의 표준 코사이클의 역상으로서, 정규화된 중심 확장된 작용을 정의함으로써, 클리퍼드 대수의 구조와의 호환성을 확보한다.
• λ-형식 위의 (9)번 식을 사용하여, 무한 왼쪽 및 오른쪽 반무한 형식 간의 쌍대성을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초월 대칭 장 이론 응용을 위해, 종수 g ≥ 1인 고종수 리만 곡면에 다수의 구멍이 있는 비라소로 대수는 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 극점 집합이 내점과 외점으로 분할되었을 때 도출되는 그레이딩의 구조는 무엇이며, 이는 리 대수의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 고종수 리만 곡면 위의 미분 연산자 대수에 대한 중심 확장의 형태는 무엇인가?
• RQ4 이 대수에 대한 반무한 와이드 표현은 어떻게 구성할 수 있으며, 거의-중급 구조는 이 과정에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비-twist된 아핀 카크-무디 대수의 고종수 버전은 무엇이며, 이들은 반무한 형식 위에서 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 극점이 유한 집합 A = I ∪ O인 컴팩트 리만 곡면 위의 미분 연산자 대수 Dλ(A)는 분할 (I,O)에 대해 거의-중급 구조를 가지며, 종수 0에서의 비라소로 대수를 일반화한다.
• Dλ(A)의 중심 확장은 국소 코사이클을 통해 구성되며, 중심 원소는 베르마 모듈러에서 항등원을 (−2)(6λ² − 6λ + 1) 배로 작용한다.
• 반무한 와이드 표현 Hλ(A)는 중심 확장된 대수의 작용을 gl(∞)에 통합함으로써 정규화함으로써 구성되며, 코사이클은 gl(∞) 위의 표준 코사이클의 역상으로서 유도된다.
• 중심 확장된 대수 D¹(A)의 Hλ(A) 위 작용은 b-c 시스템을 이용한 와이드 및 수축 작용으로 유도되는 클리퍼드 대수의 구조와 호환된다.
• 토러스(g=1)의 경우, 2-, 3-, 4점의 경우에 대해 명시적인 계산을 수행하였고, 대수기하학 기법을 사용하여 리만 곡면의 분열을 연구하였다.
• 이 구성은 중심 확장된 미분 연산자 대수의 최고 무게 표현을 고종수 리만 곡면 위에서 일관되게 제공하며, 초월 대칭 장 이론을 고종수로 확장한다.